一橋大学 経済学研究科 2022年度 統計学・計量経済学 第2題 3

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の (a) から (e) のすべてに答えよ。導出過程は省略しないこと。

次の1期間二項モデルを考える。時点0では $S_0=100, B_0=1$ である。

状態	確率	$S_1$	$B_1$
$\omega_1$	$1/2$	$140$	$R$
$\omega_2$	$1/2$	$90$	$R$

(a)

$R=1.4$ のとき、裁定機会が存在することを示せ。

(b)

以下では $R=1.1$ とする。各状態の状態価格を求めよ。

(c)

(b)の結果を用いて、時点1を満期とするアット・ザ・マネーの コール・オプションとプット・オプションの現在価値を求めよ。

(d)

(c)においてプット・コール・パリティが成立することを確認せよ。

(e)

利得関数を $g$ とする派生証券を考える。$g$ が狭義単調増加ならば、 原証券と派生証券のリスクの市場価格が一致することを示せ。

Kai

(a)

安全証券を100単位買い、株式を1単位空売りする。初期費用は $100-100=0$、 満期利得は

$$100R-S_1=140-S_1= \begin{cases} 0,&\omega_1,\\ 50,&\omega_2. \end{cases}$$

よって裁定機会である。

(b)

状態価格を $q_1,q_2$ とする。安全証券と株式の価格より

$$1=1.1(q_1+q_2),\qquad 100=140q_1+90q_2.$$

したがって

$$\boxed{q_1=\frac4{11},\qquad q_2=\frac6{11}}.$$

(c)

行使価格は $K=S_0=100$ である。コールの利得は $(40,0)$、 プットの利得は $(0,10)$ なので

$$\boxed{C_0=40q_1=\frac{160}{11}},\qquad \boxed{P_0=10q_2=\frac{60}{11}}.$$

(d)

$$C_0-P_0=\frac{100}{11} =100-\frac{100}{1.1} =S_0-\frac KR.$$

よってプット・コール・パリティが成立する。

(e)

価格 $Z_0$、満期価値 $Z_1$ の証券について

$$\lambda(Z)=\frac{E[Z_1]-RZ_0}{\operatorname{sd}(Z_1)}$$

とおく。$g_u=g(140),\ g_d=g(90)$ とする。2状態だけなので

$$g(S_1)=a+bS_1,\qquad b=\frac{g_u-g_d}{50}>0$$

と書ける。この派生証券の価格を $G_0$ とすると、複製価格は

$$G_0=\frac aR+bS_0.$$

したがって

$$E[g(S_1)]-RG_0=b\{E[S_1]-RS_0\},\qquad \operatorname{sd}(g(S_1))=b\operatorname{sd}(S_1).$$

ゆえに

$$\frac{E[g(S_1)]-RG_0}{\operatorname{sd}(g(S_1))} =\frac{E[S_1]-RS_0}{\operatorname{sd}(S_1)} =\frac{115-110}{25}=\boxed{\frac15}.$$

両者のリスクの市場価格は一致する。

Reference

• 一橋大学 経済学研究科 過去の入試問題
• 一橋大学 2022年度修士課程入学試験「経済学」