一橋大学 経済学研究科 2022年度 統計学・計量経済学 第2題 2

标签：

• Hitotsubashi-University
• Econometrics
• Multiple-Regression
• Hypothesis-Testing
• Estimator-Consistency
• Central-Limit-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の (a) から (e) のすべてに答えよ。導出過程は省略しないこと。

$\{(Y_i,X_{1i},X_{2i})\}_{i=1}^n$ を独立同一分布に従う無作為標本とし、

$$Y_i=\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i,$$

$$E[u_i\mid X_{1i},X_{2i}]=0,\qquad E[u_i^2\mid X_{1i},X_{2i}]=\sigma^2$$

とする。ただし $\beta_2\ne0$ とする。(b)から(e)では $n\to\infty$ とし、 大数の法則と中心極限定理に必要な条件を仮定する。

(a)

$Y_i$ を $X_{1i},X_{2i}$ に回帰して得られる最小二乗推定量 $(\hat\beta_1,\hat\beta_2)$ を導出せよ。

(b)

$\sqrt n(\hat\beta_1-\beta_1)$ の漸近分布を導出せよ。

(c)

$H_0:\beta_1=0$ 対 $H_1:\beta_1\ne0$ を漸近的に有意水準 $5\%$ で 検定する手続きを説明せよ。

(d)

$E[X_{1i}X_{2i}]=\gamma\ne0$ のとき、$X_{2i}$ を除いて回帰した $\beta_1$ の最小二乗推定量が一致推定量でないことを示せ。

(e)

$E[X_{1i}X_{2i}]=0$ のとき、同じ推定量が一致推定量であることを示せ。

Kai

(a)

$$S_{jk}=\sum_{i=1}^nX_{ji}X_{ki},\qquad S_{jY}=\sum_{i=1}^nX_{ji}Y_i,$$

$$D=S_{11}S_{22}-S_{12}^2$$

とおく。正規方程式を解けば

$$\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{12}&S_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\hat\beta_1\\\hat\beta_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}S_{1Y}\\S_{2Y}\end{pmatrix}$$

より

$$\boxed{\hat\beta_1=\frac{S_{22}S_{1Y}-S_{12}S_{2Y}}D},\qquad \boxed{\hat\beta_2=\frac{S_{11}S_{2Y}-S_{12}S_{1Y}}D}.$$

(b)

$\boldsymbol x_i=(X_{1i},X_{2i})^\mathsf T$、

$$Q=E[\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^\mathsf T] =\begin{pmatrix}a&c\\c&b\end{pmatrix}$$

とおく。大数の法則と中心極限定理より

$$\frac1n\sum_i\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^\mathsf T\xrightarrow{p}Q, \qquad \frac1{\sqrt n}\sum_i\boldsymbol x_iu_i \xrightarrow{d}N(\boldsymbol0,\sigma^2Q).$$

したがって

$$\sqrt n(\hat{\boldsymbol\beta}-\boldsymbol\beta) =\left(\frac1n\sum_i\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^\mathsf T\right)^{-1} \frac1{\sqrt n}\sum_i\boldsymbol x_iu_i \xrightarrow{d}N(\boldsymbol0,\sigma^2Q^{-1}).$$

したがって

$$\boxed{ \sqrt n(\hat\beta_1-\beta_1) \xrightarrow{d}N\left(0,\frac{\sigma^2b}{ab-c^2}\right)}.$$

(c)

$\hat u_i=Y_i-\hat\beta_1X_{1i}-\hat\beta_2X_{2i}$ とし、

$$\hat\sigma^2=\frac1{n-2}\sum_i\hat u_i^2, \qquad T=\frac{\hat\beta_1}{\sqrt{\hat\sigma^2S_{22}/D}}$$

とおく。$H_0$ の下で $T\xrightarrow{d}N(0,1)$ なので、

$$\boxed{|T|>1.96}$$

ならば $H_0$ を棄却する。

(d)

$X_{2i}$ を除いた推定量を $\widetilde\beta_1$ とすると

$$\widetilde\beta_1 =\frac{\sum_iX_{1i}Y_i}{\sum_iX_{1i}^2} =\beta_1+\beta_2\frac{\sum_iX_{1i}X_{2i}}{\sum_iX_{1i}^2} +\frac{\sum_iX_{1i}u_i}{\sum_iX_{1i}^2}.$$

$E[X_{1i}u_i]=E[X_{1i}E[u_i\mid X_{1i},X_{2i}]]=0$ より

$$\operatorname{plim}\widetilde\beta_1 =\beta_1+\beta_2\frac{\gamma}{E[X_{1i}^2]}\ne\beta_1.$$

よって一致推定量でない。

(e)

$E[X_{1i}X_{2i}]=0$ ならば同様に

$$\operatorname{plim}\widetilde\beta_1=\beta_1.$$

したがって $\boxed{\widetilde\beta_1\xrightarrow{p}\beta_1}$ である。

Reference

• 一橋大学 経済学研究科 過去の入試問題
• 一橋大学 2022年度修士課程入学試験「経済学」