一橋大学 経済学研究科 2022年度 統計学・計量経済学 第2題 1

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の (a) から (c) のすべてに答えよ。導出過程は省略しないこと。

(a)

$X_1,X_2,X_3$ を独立な標準指数分布に従う確率変数とし、順序統計量を $X_{(1)}\le X_{(2)}\le X_{(3)}$ とする。

1. $X_{(1)}$ の分布関数と密度関数を求めよ。
2. $X_{(2)}$ の分布関数と密度関数を求めよ。
3. $P(X_{(2)}\le\log2)$ を求めよ。

(b)

$$P(Y=y)=\binom{y+r-1}{r-1}p^r(1-p)^y\qquad(y=0,1,\ldots)$$

について、$r$ を正の整数、$0<p<1$ とする。積率母関数を求め、$E[Y],V[Y]$ を求めよ。

(c)

$X_1,\ldots,X_n$ を平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の母集団からの無作為標本とする （$|\mu|<\infty,\ 0<\sigma^2<\infty$）。 $\overline X_n=n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$ が $\mu$ に確率収束することを示せ。

Kai

(a)

$x>0$ とする。

(i)

$$F_{X_{(1)}}(x)=1-P(X_1>x)^3=1-e^{-3x},$$

$$\boxed{f_{X_{(1)}}(x)=3e^{-3x}}.$$

なお $x\le0$ では両者とも $0$ である。

(ii)

$F(x)=1-e^{-x}$ とおくと

$$F_{X_{(2)}}(x)=F(x)^3+3F(x)^2(1-F(x)) =(1-e^{-x})^2(1+2e^{-x}),$$

$$\boxed{f_{X_{(2)}}(x)=6e^{-2x}(1-e^{-x})}.$$

なお $x\le0$ では両者とも $0$ である。

(iii)

$$\boxed{P(X_{(2)}\le\log2)=\left(1-\frac12\right)^2(1+1)=\frac12}.$$

(b)

$z=(1-p)e^t$ とおけば

$$M_Y(t)=p^r\sum_{y=0}^{\infty}\binom{y+r-1}{r-1}z^y =\boxed{\left(\frac{p}{1-(1-p)e^t}\right)^r},$$

ただし $t<\log\dfrac1{1-p}$ である。$M_Y'(0),M_Y''(0)$ より

$$\boxed{E[Y]=\frac{r(1-p)}p},\qquad \boxed{V[Y]=\frac{r(1-p)}{p^2}}.$$

(c)

$$E[\overline X_n]=\mu,\qquad V[\overline X_n]=\frac{\sigma^2}{n}.$$

任意の $\varepsilon>0$ に対し、Chebyshev の不等式より

$$P(|\overline X_n-\mu|\ge\varepsilon) \le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\longrightarrow0.$$

よって $\boxed{\overline X_n\xrightarrow{p}\mu}$ である。

Reference

• 一橋大学 経済学研究科 過去の入試問題
• 一橋大学 2022年度修士課程入学試験「経済学」