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一橋大学 経済学研究科 2018年8月実施 統計学・計量経済学 第2題 1

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

成功確率 pp の互いに独立な Bernoulli 試行を無限回行う。rr 回の成功が観測されるまでに発生した失敗の回数を XX とし、P(X=x)=P(x)P(X=x)=P(x) と表す。rr は自然数、xx は非負整数である。(a)–(c) では r,pr,p は固定されている。特に断りがない限り導出過程を省略しないこと。

(a) P(x)P(x) を求めよ。

(b) XX の期待値と分散を求めよ。

(c) X=xX=x が観測されたときの pp の最尤推定値を求めよ。ただし rr は既知とする。

(d) r→∞r\to\infty かつ r(1−p)→λr(1-p)\to\lambda（λ>0\lambda>0 は固定）のとき、XX はどの分布に収束するか。P(x)P(x) の極限をもとに説明せよ。

题目描述​

无限进行成功概率为 pp 的独立 Bernoulli 试验。达到第 rr 次成功之前的失败次数为 XX，记 P(X=x)=P(x)P(X=x)=P(x)；rr 为正整数，xx 为非负整数。(a)–(c) 中 r,pr,p 固定，须给出推导。

(a) 求 P(x)P(x)。(b) 求 XX 的均值和方差。(c) 已知 rr，观测到 X=xX=x 时求 pp 的最大似然估计。(d) 当 r→∞r\to\infty 且 r(1−p)→λ>0r(1-p)\to\lambda>0 时，根据概率质量函数的极限说明 XX 的极限分布。

Kai​

(a)​

第 r+xr+x 回が成功し、それ以前の r+x−1r+x-1 回には成功 r−1r-1 回と失敗 xx 回が含まれる。よって

P(x)=(r+x−1x)pr(1−p)x(x=0,1,2,…).\boxed{P(x)=\binom{r+x-1}{x}p^r(1-p)^x\quad(x=0,1,2,\ldots)}.

これは失敗回数を数える定義の負の二項分布である。以下では 0<p≤10<p\le1 とする。

(b)​

隣り合う成功の間に生じる失敗回数を Y1,…,YrY_1,\ldots,Y_r とすると、独立同分布で X=∑jYjX=\sum_jY_j。q=1−pq=1-p とおけば P(Yj=k)=pqkP(Y_j=k)=pq^k である。等比級数を微分して、

∑k≥0kqk=q(1−q)2,∑k≥0k(k−1)qk=2q2(1−q)3.\sum_{k\ge0}kq^k=\frac q{(1-q)^2},\qquad \sum_{k\ge0}k(k-1)q^k=\frac{2q^2}{(1-q)^3}.

したがって E[Yj]=q/pE[Y_j]=q/p、E[Yj(Yj−1)]=2q2/p2E[Y_j(Y_j-1)]=2q^2/p^2 より Var⁡(Yj)=q/p2\operatorname{Var}(Y_j)=q/p^2。独立性を用いて

E[X]=r(1−p)p,Var⁡(X)=r(1−p)p2.\boxed{E[X]=\frac{r(1-p)}p,\qquad\operatorname{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}}.

(c)​

定数項を除く対数尤度は ℓ(p)=rlog⁡p+xlog⁡(1−p)\ell(p)=r\log p+x\log(1-p)。x>0x>0 なら

ℓ′(p)=rp−x1−p=0⟹p^=rr+x.\ell'(p)=\frac rp-\frac x{1-p}=0 \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\hat p=\frac r{r+x}}.

ℓ′′(p)=−r/p2−x/(1−p)2<0\ell''(p)=-r/p^2-x/(1-p)^2<0 なので最大である。x=0x=0 では尤度 prp^r は単調増加し、p=1p=1 を許すなら同じ式で p^=1\hat p=1。母数空間を開区間 0<p<10<p<1 とした場合には、x=0x=0 で最大値は達成せず p→1p\to1 に上限を持つ。

(d)​

qr=1−prq_r=1-p_r とおくと rqr→λrq_r\to\lambda、qr→0q_r\to0。固定した xx に対し、

Pr(x)=r(r+1)⋯(r+x−1)x! qrx(1−qr)r=(rqr)xx!∏j=0x−1(1+jr)(1−qr)r⟶λxx!e−λ.\begin{aligned} P_r(x)&=\frac{r(r+1)\cdots(r+x-1)}{x!}\,q_r^x(1-q_r)^r\\ &=\frac{(rq_r)^x}{x!}\prod_{j=0}^{x-1}\left(1+\frac jr\right)(1-q_r)^r \longrightarrow\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}. \end{aligned}

x=0x=0 では積を1とする。極限の確率の総和は1であるため、

X →d Poisson⁡(λ).\boxed{X\ \xrightarrow{d}\ \operatorname{Poisson}(\lambda)}.

Reference​

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