広島大学先進理工系科学研究科輸送・環境システムプログラム 2022年8月実施専門科目I 数学問題3

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$y(t)$ に関する常微分方程式

y''(t)+\omega_0^2y(t)=f(t)\quad(\omega_0>0)\tag{3.1}

について以下の問いに答えよ。ただし， $t=0$ での初期条件を $y(0),y'(0)$ と記す。

(1) 常微分方程式(3.1)の解 $y(t)$ を求め，同次解と特解に分けて表せ。

(2) $f(t)=a\sin\omega t$ （ $a,\omega$ ：定数）のとき，解 $y(t)$ を求めよ。

(3) 小問(2)で求めた解において $\omega\to\omega_0$ のときの解 $y(t)$ を求めよ。

对于关于 $y(t)$ 的常微分方程

y''(t)+\omega_0^2y(t)=f(t)\quad(\omega_0>0),\tag{3.1}

回答以下问题。 $t=0$ 时的初始条件记为 $y(0),y'(0)$ 。

(1) 求常微分方程(3.1)的解 $y(t)$ ，并分为齐次解和特解表示。

(2) 当 $f(t)=a\sin\omega t$ （ $a,\omega$ 为常数）时，求解 $y(t)$ 。

(3) 对第(2)问所得的解，求 $\omega\to\omega_0$ 时的解 $y(t)$ 。

$y_0=y(0)$ 、 $v_0=y'(0)$ と置く。初期値がともに0の特解は

y_p(t)=\frac1{\omega_0}\int_0^t f(s)\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds.

実際、 $y_p''+\omega_0^2y_p=f(t)$ 、 $y_p(0)=y_p'(0)=0$ である。よって

\boxed{\begin{aligned}y(t)={}&\underbrace{y_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t}_{\text{同次解}}\\ &+\underbrace{\frac1{\omega_0}\int_0^t f(s)\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds}_{\text{特解}} \end{aligned}}.

$\omega^2\ne\omega_0^2$ のとき、 $a\sin\omega t/(\omega_0^2-\omega^2)$ は特解である。初期条件を合わせると

\boxed{\begin{aligned} y(t)={}&y_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t\\ &+\frac{a}{\omega_0^2-\omega^2}\left(\sin\omega t-\frac\omega{\omega_0}\sin\omega_0t\right). \end{aligned}}

初期値を固定した上式の括弧内は $\omega\to\omega_0$ で0となる。したがって

\lim_{\omega\to\omega_0} \frac{\sin\omega t-(\omega/\omega_0)\sin\omega_0t}{\omega_0^2-\omega^2} =\frac{t\cos\omega_0t-\sin\omega_0t/\omega_0}{-2\omega_0}.

よって共振時の解は

\boxed{y(t)=y_0\cos\omega_0t+ \left(\frac{v_0}{\omega_0}+\frac{a}{2\omega_0^2}\right)\sin\omega_0t -\frac{at}{2\omega_0}\cos\omega_0t}.

最後の項が振幅の線形増大を表す。 $\omega=-\omega_0$ の場合は $a\sin\omega t=-a\sin\omega_0t$ なので、上式で $a$ を $-a$ に置き換える。