広島大学 先進理工系科学研究科 輸送・環境システムプログラム 2023年度 専門科目I 数学 問題3

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• 广岛大学
• 受迫振动
• 二阶线性常微分方程

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

$y(t)$ に関する常微分方程式

$$y''(t)+\omega_0^2y(t)=f(t),\qquad \omega_0>0\tag{3.1}$$

について以下の問いに答えよ。ただし、$t=0$ での初期条件を $y(0),y'(0)$ と記す。

1. (3.1)の解 $y(t)$ を求め、同次解と特解に分けて表せ。
2. $f(t)=a\sin\omega t$（$a,\omega$ は定数）のとき、解 $y(t)$ を求めよ。
3. (2)の解において $\omega\to\omega_0$ のときの解 $y(t)$ を求めよ。

题目描述

给定 $\omega_0>0$ 和初值 $y(0),y'(0)$。求 $y''+\omega_0^2y=f(t)$ 的解并分为齐次解和特解；当 $f(t)=a\sin\omega t$ 时求解；再求 $\omega\to\omega_0$ 的共振极限。

Kai

(1)

$y_0=y(0)$、$v_0=y'(0)$ と置く。初期値がともに0の特解は

$$y_p(t)=\frac1{\omega_0}\int_0^t f(s)\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds.$$

実際、$y_p''+\omega_0^2y_p=f(t)$、$y_p(0)=y_p'(0)=0$ である。よって

$$\boxed{y(t)=\underbrace{y_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t}_{\text{同次解}} +\underbrace{\frac1{\omega_0}\int_0^t f(s)\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds}_{\text{特解}}}.$$

(2)

$\omega^2\ne\omega_0^2$ のとき、$a\sin\omega t/(\omega_0^2-\omega^2)$ は特解である。初期条件を合わせると

$$\boxed{y(t)=y_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t +\frac{a}{\omega_0^2-\omega^2} \left(\sin\omega t-\frac{\omega}{\omega_0}\sin\omega_0t\right)}.$$

(3)

初期値を固定した上式の括弧内は $\omega\to\omega_0$ で0となる。したがって

$$\lim_{\omega\to\omega_0} \frac{\sin\omega t-(\omega/\omega_0)\sin\omega_0t}{\omega_0^2-\omega^2} =\frac{t\cos\omega_0t-\sin\omega_0t/\omega_0}{-2\omega_0}.$$

よって共振時の解は

$$\boxed{y(t)=y_0\cos\omega_0t+ \left(\frac{v_0}{\omega_0}+\frac{a}{2\omega_0^2}\right)\sin\omega_0t -\frac{at}{2\omega_0}\cos\omega_0t}.$$

最後の項が振幅の線形増大を表す。$\omega=-\omega_0$ の場合は $a\sin\omega t=-a\sin\omega_0t$ なので、上式で $a$ を $-a$ に置き換える。

Reference

• 大学公式問題（PDF 5ページ）
• miyake：対応する解答