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広島大学 先進理工系科学研究科 輸送・環境システムプログラム 2023年度 専門科目I 数学 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

以下の問いに答えよ。

  1. 不定積分 ∫x3log⁡(3x) dx\int x^3\log(3x)\,dx を求めよ。
  2. 定積分 ∫0∞x2e−2x dx\int_0^\infty x^2e^{-2x}\,dx を求めよ。
  3. f(x,y)=log⁡x2+y2f(x,y)=\log\sqrt{x^2+y^2} のとき、fxx+fyyf_{xx}+f_{yy} を求めよ。
  4. 常微分方程式 dy/dx=3+x+ydy/dx=3+x+y の一般解を求めよ。
  5. 次の行列 AA の固有値を求めよ。
A=(1−3−3−11−1135).A=\begin{pmatrix}1&-3&-3\\-1&1&-1\\1&3&5\end{pmatrix}.

题目描述​

依次求：∫x3log⁡(3x) dx\int x^3\log(3x)\,dx；∫0∞x2e−2x dx\int_0^\infty x^2e^{-2x}\,dx；f=log⁡x2+y2f=\log\sqrt{x^2+y^2} 的 fxx+fyyf_{xx}+f_{yy}；y′=3+x+yy'=3+x+y 的通解；上述矩阵 AA 的特征值。

Kai​

(1)​

x>0x>0 で部分積分により

∫x3log⁡(3x) dx=x44log⁡(3x)−14∫x3 dx=x44log⁡(3x)−x416+C.\int x^3\log(3x)\,dx =\frac{x^4}{4}\log(3x)-\frac14\int x^3\,dx =\boxed{\frac{x^4}{4}\log(3x)-\frac{x^4}{16}+C}.

(2)​

無限遠で xne−2x→0x^ne^{-2x}\to0 を用いて2回部分積分すると

∫0∞x2e−2x dx=∫0∞xe−2x dx=12∫0∞e−2x dx=14.\int_0^\infty x^2e^{-2x}\,dx =\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx =\frac12\int_0^\infty e^{-2x}\,dx =\boxed{\frac14}.

(3)​

(x,y)≠(0,0)(x,y)\ne(0,0) において

fxx=y2−x2(x2+y2)2,fyy=x2−y2(x2+y2)2.f_{xx}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_{yy}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.

よって fxx+fyy=0\boxed{f_{xx}+f_{yy}=0}。

(4)​

積分因子 e−xe^{-x} を用いて

(e−xy)′=(x+3)e−x,e−xy=−(x+4)e−x+C.(e^{-x}y)'=(x+3)e^{-x},\qquad e^{-x}y=-(x+4)e^{-x}+C.

したがって y=Cex−x−4\boxed{y=Ce^x-x-4}。

(5)​

特性多項式は

det⁡(λI−A)=λ3−7λ2+14λ−8=(λ−1)(λ−2)(λ−4).\det(\lambda I-A)=\lambda^3-7\lambda^2+14\lambda-8 =(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4).

したがって固有値は 1,2,4\boxed{1,2,4}。

Reference​

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