広島大学 先進理工系科学研究科 輸送・環境システムプログラム 2022年8月実施 専門科目I 数学 問題1

标签：

• 广岛大学
• 分部积分法
• 一阶常微分方程
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の問いに答えよ。

(1) 不定積分 $\displaystyle\int x^3\log 3x\,dx$ を求めよ。

(2) 定積分 $\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-2x}\,dx$ を求めよ。

(3) $f(x,y)=\log\sqrt{x^2+y^2}$ のとき，$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}$ を求めよ。

(4) 常微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}=3+x+y$ の一般解を求めよ。

(5) $A=\begin{bmatrix}1&-3&-3\\-1&1&-1\\1&3&5\end{bmatrix}$ のとき，$A$ の固有値を求めよ。

题目描述

回答以下问题。

(1) 求不定积分 $\displaystyle\int x^3\log 3x\,dx$。

(2) 求定积分 $\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-2x}\,dx$。

(3) 当 $f(x,y)=\log\sqrt{x^2+y^2}$ 时，求 $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}$。

(4) 求常微分方程 $\dfrac{dy}{dx}=3+x+y$ 的通解。

(5) 当 $A=\begin{bmatrix}1&-3&-3\\-1&1&-1\\1&3&5\end{bmatrix}$ 时，求 $A$ 的特征值。

Kai

(1)

$x>0$ で部分積分により

$$\begin{gathered} \int x^3\log(3x)\,dx =\frac{x^4}{4}\log(3x)-\frac14\int x^3\,dx\\ =\boxed{\frac{x^4}{4}\log(3x)-\frac{x^4}{16}+C}. \end{gathered}$$

(2)

無限遠で $x^ne^{-2x}\to0$ を用いて2回部分積分すると

$$\begin{gathered} \int_0^\infty x^2e^{-2x}\,dx =\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx\\ =\frac12\int_0^\infty e^{-2x}\,dx\\ =\boxed{\frac14}. \end{gathered}$$

(3)

$(x,y)\ne(0,0)$ において

$$f_{xx}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_{yy}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

よって $\boxed{f_{xx}+f_{yy}=0}$。

(4)

積分因子 $e^{-x}$ を用いて

$$\begin{gathered} (e^{-x}y)'=(x+3)e^{-x},\\ e^{-x}y=-(x+4)e^{-x}+C. \end{gathered}$$

したがって $\boxed{y=Ce^x-x-4}$。

(5)

特性多項式は

$$\begin{gathered} \det(\lambda I-A)=\lambda^3-7\lambda^2+14\lambda-8\\ =(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4). \end{gathered}$$

したがって固有値は $\boxed{1,2,4}$。

Reference

• 大学公式問題（PDF 2ページ）
• miyake：対応する解答