広島大学先進理工系科学研究科機械工学プログラム 2022年8月実施専門科目I 数学問題3

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

問題3

関数 $f(x)$ について

f'(x)+f'(y)=f'(x+y)+xy\tag{1}

\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}x=3\tag{2}

が成立するとき以下の問いに答えよ。

(a) $f'(0)$ を求めよ。

(b) 式 (1) が $y=dx$ についても成立することを考慮して $f(x)$ に関する微分方程式を求めよ。

When a function $f(x)$ satisfies

f'(x)+f'(y)=f'(x+y)+xy\qquad(1)

\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}x=3\qquad(2)

, answer the following questions.

(a) What is the value of $f'(0)$ ?

(b) Get the differential equation for $f(x)$ , considering that Eq. (1) holds for $y=dx$ .

问题3　函数 $f(x)$ 满足

f'(x)+f'(y)=f'(x+y)+xy\qquad(1),

\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}x=3\qquad(2).

回答以下问题。

(a) 求 $f'(0)$ 。

(b) 考虑式 (1) 对 $y=dx$ 也成立，求关于 $f(x)$ 的微分方程。

(1)に $x=y=0$ を代入すると $2f'(0)=f'(0)$ なので、

\boxed{f'(0)=0}.

(1)で $y=h\ne0$ と置けば

\frac{f'(x+h)-f'(x)}h=\frac{f'(h)}h-x.

$h\to0$ とすると(2)から右辺は $3-x$ に収束し、

\boxed{f''(x)=3-x}.

積分して $f'(0)=0$ を用いると $f'(x)=3x-x^2/2$ 。さらに積分して

\boxed{f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}+C\qquad(C\in\mathbb R)}.

この関数は $f'(x)+f'(y)-f'(x+y)=xy$ と $f'(x)/x=3-x/2$ を満たす。