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広島大学 先進理工系科学研究科 機械工学プログラム 2023年度 専門科目I 数学 問題3

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

関数 f(x)f(x) について

f′(x)+f′(y)=f′(x+y)+xy,(1)f'(x)+f'(y)=f'(x+y)+xy,\tag{1}
lim⁡x→0f′(x)x=3(2)\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}x=3\tag{2}

が成り立つとき、以下の問いに答えよ。

(a) f′(0)f'(0) を求めよ。

(b) (1)が y=dxy=dx についても成り立つことを考慮して、f(x)f(x) に関する微分方程式を求めよ。

(c) f(x)f(x) を求めよ。

题目描述​

已知 f′(x)+f′(y)=f′(x+y)+xyf'(x)+f'(y)=f'(x+y)+xy，且 lim⁡x→0f′(x)/x=3\lim_{x\to0}f'(x)/x=3。求 f′(0)f'(0)；利用令 y=dxy=dx 后的关系导出 ff 的微分方程；求 f(x)f(x)。

Kai​

(a)​

(1)に x=y=0x=y=0 を代入すると 2f′(0)=f′(0)2f'(0)=f'(0) なので、

f′(0)=0.\boxed{f'(0)=0}.

(b)​

(1)で y=h≠0y=h\ne0 と置けば

f′(x+h)−f′(x)h=f′(h)h−x.\frac{f'(x+h)-f'(x)}h=\frac{f'(h)}h-x.

h→0h\to0 とすると(2)から右辺は 3−x3-x に収束し、

f′′(x)=3−x.\boxed{f''(x)=3-x}.

(c)​

積分して f′(0)=0f'(0)=0 を用いると f′(x)=3x−x2/2f'(x)=3x-x^2/2。さらに積分して

f(x)=−x36+3x22+C(C∈R).\boxed{f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}+C\qquad(C\in\mathbb R)}.

この関数は f′(x)+f′(y)−f′(x+y)=xyf'(x)+f'(y)-f'(x+y)=xy と f′(x)/x=3−x/2f'(x)/x=3-x/2 を満たす。

Reference​

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