広島大学 先進理工系科学研究科 数学プログラム 2022年8月実施 専門科目 午前

Author

祭音Myyura (with GPT 5.5)

Description

次の (A), (B) のすべての問に答えよ.

(A)

を実定数とし, 実行列 を考える. 以下の問に答えよ.

(1). の階数が となるような の値を求めよ.

(2). を (1) で求めた値とする. を未知数, を定数とする. 実線形方程式

が解をもつための必要十分条件を を用いて表し, それが成り立つときの一般解を を用いない形で求めよ.

(B)

有限次元実線形空間 上の線形写像 は （ただし, は 上の恒等写像）を満たすとする. とする. 以下の問に答えよ. ただし, 写像の合成を積とみなし, 線形写像 に対してその核を と表す.

(1). を示せ. ただし, は 上の零値写像（すべての の元を の零ベクトルに写す写像）である.

(2). を示せ. ただし, はベクトル空間の直和を表す.

(3). は の部分空間であり, かつ となることを示せ.

(4). の次元が奇数ならば, は 1 を固有値にもつことを示せ.

Kai

(A)

(1)

は次のように行基本変形できる：

したがって，、 の階数が となるのは のときである。

(2)

(1) より とする。このとき

である。

拡大係数行列は

であり，行基本変形により

となる。

したがって，方程式が解をもつための必要十分条件は である。

このとき、

となるので、一般解は、 を任意の実数として、

と表せる。

(B)

(1)

まず を計算する。

なので、

がわかる。

(2)

の零ベクトルを とする。

まず、 を考えると

なので であり、 を考えると

なので である。

よって、

である。

さらに、任意の は

と表せるが、 から である。 このことと () から

が言える。

(3)

(i) 任意の は適当な を使って

と表せ、

なので、 であり、 がわかる。 また、任意の実数 と任意の

について、

であるが、 なので、

が言え、 が実線形空間であることがわかる。 以上より、 は の（線形）部分空間であることがわかる。

(ii) 任意の は適当な を使って

と表せ、

なので、 である。

(4)

が奇数であるとする。このとき， が を固有値にもつことを示す。

まず， とする。

であるから，

である。すなわち，

なので，

である。

一方，

である。

したがって，

である。

よって，任意の に対して

が成り立つ。

したがって，

である。

よって， を示せば， は を固有値にもつことが分かる。

ここで，(2) より

であるから，

である。

次に， が偶数であることを示す。

とする。すると，

であるから，

である。すなわち，

である。

したがって， 上では

が成り立つ。

ここで， の への制限を

と書くと，

である。

もし が奇数であると仮定する。このとき，実線形空間 上の線形写像 の特性多項式は奇数次の実係数多項式であるから，少なくとも1つの実根をもつ。

したがって， は実固有値 をもつ。

すると，

より，

でなければならない。

しかし，

であるから，これは実数 に対して成り立たない。

これは矛盾である。

したがって，

は偶数である。

いま は奇数であり，

である。また は偶数なので，

は奇数である。特に，

であるから，

である。

よって，ある非零ベクトル が存在する。

この について，先に示したように

が成り立つ。

したがって， は の固有値 に対応する固有ベクトルである。

ゆえに，

である。