広島大学 先進理工系科学研究科 数学プログラム 2022年8月実施 専門科目 午前 $1$

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• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura (with GPT 5.5)

Description

次の (A), (B) のすべての問に答えよ.

(A)

$a$ を実定数とし, 実行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$ を考える. 以下の問に答えよ.

(1). $A$ の階数が $2$ となるような $a$ の値を求めよ.

(2). $a$ を (1) で求めた値とする. $x, y, z$ を未知数, $p, q, r$ を定数とする. 実線形方程式

$$A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}$$

が解をもつための必要十分条件を $p, q, r$ を用いて表し, それが成り立つときの一般解を $r$ を用いない形で求めよ.

(B)

有限次元実線形空間 $V$ 上の線形写像 $A : V \rightarrow V$ は $A^3 = I$（ただし, $I$ は $V$ 上の恒等写像）を満たすとする. $B = (I + A + A^2)/3, C = I - B, X = \text{Ker}\ B, Y = \text{Ker}\ C$ とする. 以下の問に答えよ. ただし, 写像の合成を積とみなし, 線形写像 $T : V \rightarrow V$ に対してその核を $\text{Ker}\ T$ と表す.

(1). $BC = CB = O$ を示せ. ただし, $O$ は $V$ 上の零値写像（すべての $V$ の元を $V$ の零ベクトルに写す写像）である.

(2). $V = X \oplus Y$ を示せ. ただし, $\oplus$ はベクトル空間の直和を表す.

(3). $W = \{ u + A(v) \in V \mid u, v \in X \}$ は $X$ の部分空間であり, かつ $A(W) \subset W$ となることを示せ.

(4). $V$ の次元が奇数ならば, $A$ は 1 を固有値にもつことを示せ.

题目描述

回答 (A)、(B) 中的全部问题。

(A) 设 $a$ 为实常数，考虑实矩阵

$$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&3&1\\0&1&a\end{pmatrix}.$$

1. 求使 $\operatorname{rank}A=2$ 的 $a$。

2. 令 $a$ 取第 1 问所得值，以 $x,y,z$ 为未知数、$p,q,r$ 为常数。对实线性方程

   $$A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix},$$

   用 $p,q,r$ 写出方程有解的充要条件；条件成立时，求一个不含 $r$ 的一般解表达式。

(B) 设 $V$ 为有限维实线性空间，线性映射 $A:V\to V$ 满足 $A^3=I$，其中 $I$ 是 $V$ 上的恒等映射。定义

$$B=\frac{I+A+A^2}{3},\qquad C=I-B,\qquad X=\operatorname{Ker}B,\qquad Y=\operatorname{Ker}C.$$

映射的复合记作乘积；对线性映射 $T:V\to V$，其核记为 $\operatorname{Ker}T$。

1. 证明 $BC=CB=O$，其中 $O$ 是把 $V$ 的每个元素映到零向量的零映射。

2. 证明 $V=X\oplus Y$，其中 $\oplus$ 表示向量空间的直和。

3. 令

   $$W=\{u+A(v)\in V\mid u,v\in X\}.$$

   证明 $W$ 是 $X$ 的子空间，并且 $A(W)\subset W$。

4. 证明：若 $\dim V$ 为奇数，则 $A$ 有特征值 $1$。

考点

• 特征值与特征向量：结合 $A^3=I$、不变子空间分解和实空间的维数奇偶性，证明奇数维情形必存在特征值 $1$。

Kai

(A)

(1)

$A$ は次のように行基本変形できる：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

したがって，、 $A$ の階数が $2$ となるのは $a=1$ のときである。

(2)

(1) より $a=1$ とする。このとき

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 2&3&1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}$$

である。

拡大係数行列は

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & p \\ 2 & 3 & 1 & q \\ 0 & 1 & 1 & r \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり，行基本変形により

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1&1&0&p\\ 0&1&1&-2p+q\\ 0&1&1&r \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&-1&3p-q\\ 0&1&1&-2p+q\\ 0&0&0&2p-q+r \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。

したがって，方程式が解をもつための必要十分条件は $2p-q+r=0$ である。

このとき、

$$\begin{aligned} \begin{cases} x-z = 3p-q, \\ y+z= -2p+q \end{cases} \end{aligned}$$

となるので、一般解は、 $t$ を任意の実数として、

$$\begin{aligned} \begin{cases} x = 3p-q+t, \\ y = -2p+q-t, \\ z = t \end{cases} \end{aligned}$$

と表せる。

(B)

(1)

まず $B^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} B^2 &= \frac{1}{9} \left( I + 2A + 3A^2 + 2A^3 + A^4 \right) \\ &= \frac{1}{9} \left( 3I + 3A + 3A^2 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because A^3=I ) \\ &= B \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} BC&=B(I-B)=B-B^2=O \\ CB&=(I-B)B=B-B^2=O \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

$V$ の零ベクトルを $0_V$ とする。

まず、 $x \in X, x \ne 0_V$ を考えると

$$\begin{aligned} Cx &= x - Bx \\ &= x \\ &\ne 0_V \end{aligned}$$

なので $x \notin Y$ であり、 $y \in Y, y \ne 0_V$ を考えると

$$\begin{aligned} By &= y - Cy \\ &= y \\ &\ne 0_V \end{aligned}$$

なので $y \notin X$ である。

よって、

$$\begin{align} X \cap Y = \left\{ 0_V \right\} \tag{*} \end{align}$$

である。

さらに、任意の $v \in V$ は

$$\begin{aligned} v &= Cv + Bv \end{aligned}$$

と表せるが、 $BC=CB=O$ から $Cv \in X, Bv \in Y$ である。 このことと ($*$) から

$$\begin{aligned} V = X \oplus Y \end{aligned}$$

が言える。

(3)

(i) 任意の $w \in W$ は適当な $u,v \in X$ を使って

$$\begin{aligned} w = u + Av \end{aligned}$$

と表せ、

$$\begin{aligned} Bw &= Bu + BAv \\ &= Bu + ABv \\ &= O \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because u, v \in X ) \end{aligned}$$

なので、 $w \in X$ であり、 $W \subset X$ がわかる。 また、任意の実数 $a,b$ と任意の

$$\begin{aligned} w_1 &= u_1 + Av_1 \in W \ \ \ \ ( u_1, v_1 \in X ) \\ w_2 &= u_2 + Av_2 \in W \ \ \ \ ( u_2, v_2 \in X ) \end{aligned}$$

について、

$$\begin{aligned} aw_1 + bw_2 &= a(u_1 + Av_1) + b(u_2 + Av_2) \\ &= (au_1+bu_2) + A (av_1+bv_2) \end{aligned}$$

であるが、 $au_1+bu_2, av_1+bv_2 \in X$ なので、

$$\begin{aligned} aw_1 + bw_2 \in W \end{aligned}$$

が言え、 $W$ が実線形空間であることがわかる。 以上より、 $W$ は $X$ の（線形）部分空間であることがわかる。

(ii) 任意の $w \in W$ は適当な $u,v \in X$ を使って

$$\begin{aligned} w = u + Av \end{aligned}$$

と表せ、

$$\begin{aligned} Aw &= Au + A^2v \\ &= A^2v + Au \\ &\in W \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because BA^2v = A^2Bv = O \text{ より } A^2v \in X ) \end{aligned}$$

なので、 $A(W) \subset W$ である。

(4)

$$\dim V$$

が奇数であるとする。このとき，$A$ が $1$ を固有値にもつことを示す。

まず，$y\in Y$ とする。

$Y=\ker C$ であるから，

$$Cy=0$$

である。すなわち，

$$(I-B)y=0$$

なので，

$$By=y$$

である。

一方，

$$AB = A\frac{I+A+A^2}{3} = \frac{A+A^2+A^3}{3} = \frac{A+A^2+I}{3} = B$$

である。

したがって，

$$Ay=A(By)=ABy=By=y$$

である。

よって，任意の $y\in Y$ に対して

$$Ay=y$$

が成り立つ。

したがって，

$$Y\subset \ker(A-I)$$

である。

よって，$Y\neq \{0\}$ を示せば，$A$ は $1$ を固有値にもつことが分かる。

ここで，(2) より

$$V=X\oplus Y$$

であるから，

$$\dim V=\dim X+\dim Y$$

である。

次に，$\dim X$ が偶数であることを示す。

$x\in X$ とする。すると，

$$Bx=0$$

であるから，

$$\frac{x+Ax+A^2x}{3}=0$$

である。すなわち，

$$x+Ax+A^2x=0$$

である。

したがって，$X$ 上では

$$A^2+A+I=O$$

が成り立つ。

ここで，$A$ の $X$ への制限を

$$A_X=A|_X$$

と書くと，

$$A_X^2+A_X+I_X=O$$

である。

もし $\dim X$ が奇数であると仮定する。このとき，実線形空間 $X$ 上の線形写像 $A_X$ の特性多項式は奇数次の実係数多項式であるから，少なくとも1つの実根をもつ。

したがって，$A_X$ は実固有値 $\lambda$ をもつ。

すると，

$$A_X^2+A_X+I_X=O$$

より，

$$\lambda^2+\lambda+1=0$$

でなければならない。

しかし，

$$\lambda^2+\lambda+1 = \left(\lambda+\frac12\right)^2+\frac34>0$$

であるから，これは実数 $\lambda$ に対して成り立たない。

これは矛盾である。

したがって，

$$\dim X$$

は偶数である。

いま $\dim V$ は奇数であり，

$$\dim V=\dim X+\dim Y$$

である。また $\dim X$ は偶数なので，

$$\dim Y$$

は奇数である。特に，

$$\dim Y\ge 1$$

であるから，

$$Y\neq \{0\}$$

である。

よって，ある非零ベクトル $y\in Y$ が存在する。

この $y$ について，先に示したように

$$Ay=y$$

が成り立つ。

したがって，$y$ は $A$ の固有値 $1$ に対応する固有ベクトルである。

ゆえに，

$$\boxed{A\text{ は }1\text{ を固有値にもつ}}$$

である。