広島大学先進理工系科学研究科情報科学プログラム 2022年1月実施専門科目I 問題1

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samparker, 祭音Myyura

を次の正方行列とする。また, とそれぞれ次の単位行列と零行列とする。

(1) がを満たすとき, の固有値はすべてまたはであることを証明せよ。

(2) とし, ある整数に対してが成り立つとする。このとき, は正則行列でないことを証明せよ。

(3) 次正方行列のトレースを , と定義する。すべての次正方行列に対してならばであることを証明せよ。

(4) となるような正方行列は存在しないことを証明せよ。

Let and be -dimensional square matrices. Let and be -dimensional identity and zero matrices, respectively.

(1) When satisfies , prove eigenvalues of are either or .

(2) Suppose and for some integer . Prove is not an invertible matrix.

(3) The trace of an -dimensional square matrix is defined by . Prove when for any -dimensional square matrix .

(4) Prove that there are no square matrices such that .

Assume that is an invertible matrix, w.l.o.g we assume that , then we have

which is contradictory to the fact that . Therefore, is not an invertible matirx.

Assume that , i.e., there exists an non-zero element of .

Consider a standard basis matrix (The matrix has at and at all other positions).

Then we have

which is a contradiction.

Since , we have

Therefore, there are no square matrices such that .