広島大学 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 2022年1月実施 専門科目I 問題1

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Author

samparker, 祭音Myyura

Description

$A,B,C,P,Q$ を $n$ 次の正方行列とする。また, $E$ と $O$ それぞれ $n$ 次の単位行列と零行列とする。

(1) $A$ が $A^2=A$ を満たすとき, $A$ の固有値はすべて $0$ または $1$ であることを証明せよ。

(2) $B \neq O$ とし, ある整数 $k \ge 2$ に対して $B^k = O$ が成り立つとする。このとき, $B$ は正則行列でないことを証明せよ。

(3) $n$ 次正方行列 $M = [m_{ij}]$ のトレースを , $\text{tr}M = \sum_{i=1}^n m_{ii}$ と定義する。 すべての $n$ 次正方行列 $X$ に対して $\text{tr}(CX) = 0$ ならば $C = O$ であることを証明せよ。

(4) $PQ - QP = E$ となるような正方行列 $P,Q$ は存在しないことを証明せよ。

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Let $A, B, C, P$ and $Q$ be $n$-dimensional square matrices. Let $E$ and $O$ be $n$-dimensional identity and zero matrices, respectively.

(1) When $A$ satisfies $A^2=A$, prove eigenvalues of $A$ are either $0$ or $1$.

(2) Suppose $B \neq O$ and $B^k = O$ for some integer $k \ge 2$. Prove $B$ is not an invertible matrix.

(3) The trace of an $n$-dimensional square matrix $M=[m_{ij}]$ is defined by $\text{tr}M = \sum_{i=1}^n m_{ii}$. Prove $C=O$ when $\text{tr}(CX) = 0$ for any $n$-dimensional square matrix $X$.

(4) Prove that there are no square matrices $P,Q$ such that $PQ-QP=E$.

题目描述

设 $A,B,C,P,Q$ 均为 $n$ 阶方阵，$E$ 和 $O$ 分别为 $n$ 阶单位矩阵与零矩阵。

1. 若 $A^2=A$，证明 $A$ 的每个特征值都是 $0$ 或 $1$。

2. 设 $B\ne O$，且对某个整数 $k\ge2$ 有 $B^k=O$；证明 $B$ 不可逆。

3. 对 $n$ 阶方阵 $M=[m_{ij}]$，定义

   $$\operatorname{tr}M=\sum_{i=1}^n m_{ii}.$$

   若对每个 $n$ 阶方阵 $X$ 都有 $\operatorname{tr}(CX)=0$，证明 $C=O$。

4. 证明不存在满足 $PQ-QP=E$ 的方阵 $P,Q$。

考点

• 特征值与特征向量：把幂等关系 $A^2=A$ 作用于特征向量，限定 $A$ 的全部可能特征值。

Kai

(1)

$$A = A^2$$

$$A = E \text{ or } O$$

$$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1-\lambda & & & \\ & 1-\lambda & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0&, \begin{vmatrix} -\lambda & & \\ & -\lambda & \\ & & -\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \\ &\text{all } \lambda = 1 &\text{all } \lambda = 0 \end{aligned}$$

(2)

Assume that $B$ is an invertible matrix, w.l.o.g we assume that $k = 2$, then we have

$$\left\{ \begin{aligned} &BB^{-1} = E \\ &B^2 = O \end{aligned} \right.$$

$$\begin{aligned} B \cdot B \cdot B ^{-1} &= O \cdot B^{-1} \\ B \cdot E &= O \\ B &= O \end{aligned}$$

which is contradictory to the fact that $B \neq O$. Therefore, $B$ is not an invertible matirx.

(3)

Assume that $C \neq O$, i.e., there exists an non-zero element $c_{ij}$ of $C$.

Consider a standard basis matrix $E_{ij}$ (The matrix $E_{ij}$ has $1$ at $(i,j)$ and $0$ at all other positions).

Then we have

$$\text{tr} (CE_{ji}) = c_{ij} \neq 0$$

which is a contradiction.

(4)

Since $\text{tr} (PQ) = \text{tr} (QP)$, we have

$$\text{tr} (PQ - QP) = \text{tr} (PQ) - \text{tr} (QP) = 0 \neq \text{tr} (E)$$

Therefore, there are no square matrices $P, Q$ such that $PQ - QP = E$.