広島大学 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 2021年8月実施 専門科目I 問題1

Author

samparker, 祭音Myyura

Description

(1) のすべての固有値と固有ベクトルを求めよ。ただし、 は実数とする。

(2) を求めよ。ただし、 は正の整数とする。

(3) 実正方行列 に対して、行列の指数関数を

で定義する。これは、すべての行列 に対して収束することが知られている。ただし、 は単位行列である。

となることを示せ。

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(1) Find all the eigenvalues of a matrix and the corresponding eigenvectors. Here is a real number.

(2) Find . Here is a positive integer.

(3) For real square matrix , exponential function is defined as

It is known that this function converges for all matrices . Here is the identity matrix. Show that

Kai

(1)

Eigenvalues

the corresponding eigenvectors

(2)

Then,

(3)

The Cayley-Hamilton Theorem guarantees that

so that . Higher powers of are , , and so on. Substituting these into the power series for and grouping together the terms involving and produces