広島大学 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 2021年1月実施 専門科目I 問題1

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• Hiroshima-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

samparker, 祭音Myyura

Description

2次元の回転行列 $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ について以下の問いに答えよ。

(1) $R(\theta)$ のすべての固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。

(2) $R(\theta)$ をユニタリ行列 $U$ を用いて対角化せよ。

(3) 対角化の結果を用いて、$R(\theta)^n$ を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

(4) 対角化の結果を用いて、正弦および余弦の加法定理を導出せよ。

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Let $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ be the rotation matrix in the two-dimensional Euclidean space.

(1) Find all the eigenvalues of the matrix $R(\theta)$ and the corresponding eigenvectors.

(2) Diagonalize the matrix $R(\theta)$ by using a unitary matrix $U$.

(3) Find the $R(\theta)^n$ for the natural number $n$ by using the result of the diagonalization.

(4) Derive the sum formulas for the matrix $R(\theta)$ and cosine by using the result of the diagonalization.

题目描述

给定二维旋转矩阵

$$R(\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}.$$

1. 求 $R(\theta)$ 的全部特征值及相应特征向量。
2. 使用酉矩阵 $U$ 将 $R(\theta)$ 对角化。
3. 利用对角化结果求 $R(\theta)^n$，其中 $n$ 为正整数。
4. 利用对角化结果推导正弦与余弦的加法公式。

考点

• 特征值与特征向量：在复数域上求二维旋转矩阵的特征值及对应特征向量。
• 矩阵对角化：构造酉对角化并由对角矩阵的幂推出旋转矩阵幂和三角函数加法公式。

Kai

Let $A$ denote matrix $R(\theta)$ and $E$ denote the identity matrix.

(1)

Eigenvalues:

$$\begin{aligned} &|A - \lambda E| = 0 \\ &\Rightarrow \begin{vmatrix} \cos \theta - \lambda & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ &\Rightarrow \lambda^2 - 2 \lambda \cos \theta + 1 = 0 \\ &\Rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = \cos \theta - i\sin \theta \\ \lambda_2 = \cos \theta + i\sin \theta \end{cases} \end{aligned}$$

Corresponding eigenvectors:

$$\begin{cases} v_1 = (-i, 1) \\ v_2 = (i, 1) \end{cases}$$

(2)

$$U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -i & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

$$U^{-1} = (U^{*})^T = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} i & 1 \\ -i & 1 \end{bmatrix}$$

$$U^{-1}AU = \begin{bmatrix} \cos \theta - i \sin \theta & 0 \\ 0 & \cos \theta + i \sin \theta \end{bmatrix}$$

(3)

Let $D$ denote $\begin{bmatrix} \cos \theta - i \sin \theta & 0 \\ 0 & \cos \theta + i \sin \theta \end{bmatrix}$. Then

$$\begin{aligned} D^n &= \begin{bmatrix} (\cos \theta - i \sin \theta)^n & 0 \\ 0 & (\cos \theta + i \sin \theta)^n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (e^{-i\theta})^n & 0 \\ 0 & (e^{i\theta})^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-in\theta} & 0 \\ 0 & e^{in\theta} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos (-n\theta) + i \sin (-n\theta) & 0 \\ 0 & \cos (n\theta) + i \sin (n\theta) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos (n\theta) - i \sin (n\theta) & 0 \\ 0 & \cos (n\theta) + i \sin (n\theta) \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Hence

$$\begin{aligned} A^n = UD^nU^{-1} = \begin{bmatrix} \cos (n\theta) & -\sin (n\theta) \\ \sin (n\theta) & \cos (n\theta) \end{bmatrix} \end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned} R(\alpha) R(\beta) &= U \begin{bmatrix} \cos \alpha - i \sin \alpha & 0 \\ 0 & \cos \alpha + i \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \beta - i \sin \beta & 0 \\ 0 & \cos \beta + i \sin \beta \end{bmatrix} U^{-1} \\ &= U \begin{bmatrix} e^{-i \alpha} e^{-i \beta} & 0 \\ 0 & e^{i \alpha} e^{i \beta} \end{bmatrix} U^{-1} \\ &= U \begin{bmatrix} e^{-i (\alpha + \beta)} & 0 \\ 0 & e^{i (\alpha + \beta)} \end{bmatrix} U^{-1} \\ &= U \begin{bmatrix} \cos (\alpha + \beta) - i \sin (\alpha + \beta) & 0 \\ 0 & \cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta) \end{bmatrix} U^{-1} \\ &= R(\alpha + \beta) \end{aligned}$$

Hence, we have

$$\begin{aligned} R(\alpha) R(\beta) &= \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{bmatrix} \\ &= R(\alpha + \beta) \\ &= \begin{bmatrix} \cos (\alpha + \beta) & -\sin (\alpha + \beta) \\ \sin (\alpha + \beta) & \cos (\alpha + \beta) \end{bmatrix} \end{aligned}$$

which implies

$$\begin{aligned} \sin (\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}$$