広島大学先進理工系科学研究科情報科学プログラム 2018年1月実施専門科目I 問題1

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samparker

$n \times n$ 次実対称行列 $M$ に対して、その全ての固有値が正であれば、 $M$ は正定値行列と呼ばれる。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ とするとき、 $A$ は正定値行列であるか？

(2) $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とするとき、 $B$ が正定値行列であるための必要十分条件は $a > 0$ かつ $ac > b^2$ であることを示せ。

An $n \times n$ real symmetric matrix $M$ is called positive definite if all its eigenvalues are positive.

(1) Let $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Is the matrix $A$ positive definite?

(2) Let $B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ . Show that $B$ is positive definite if and only if $a > 0$ and $ac > b^2$ .

若一个 $n\times n$ 实对称矩阵 $M$ 的全部特征值均为正，则称 $M$ 为正定矩阵。

对

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix},$

判断 $A$ 是否为正定矩阵。
对实对称矩阵

$B=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix},$

证明 $B$ 为正定矩阵的充要条件是 $a>0$ 且 $ac>b^2$ 。

\begin{aligned} &\det (A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ &\Leftrightarrow -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 5\lambda + 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2 - \sqrt{3}, \lambda_3 = 2+\sqrt{3} \end{aligned}

All eigenvalues are positive, hence $A$ is positive definite.

\begin{aligned} &\det (B - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ b & c - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ &\Leftrightarrow (a - \lambda)(c - \lambda) - b^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow \lambda_1 = \frac{a + c + \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2}}{2}, \lambda_2 = \frac{a + c - \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2}}{2} \end{aligned}

To ensure that $\lambda_1 > 0$ , we have

a + c + \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2} > 0 \Leftrightarrow a + c + |a-c| > 0

which is $a > 0$ or $a < 0, c > 0$ .

To ensure that $\lambda_2 > 0$ , we have

a + c > \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2} \geq 0

Hence we have

(a+c)^2 > (a-c)^2 + 4b^2

ac > b^2

Since $b^2 \geq 0$ , we know that the case $a < 0, c > 0$ is invalid. Therefore we have

a > 0 \text{ and } ac > b^2