広島大学 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 2018年1月実施 専門科目I 問題1

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samparker

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次実対称行列 に対して、その全ての固有値が正であれば、 は正定値行列と呼ばれる。

(1) とするとき、 は正定値行列であるか？

(2) とするとき、 が正定値行列であるための必要十分条件は かつ であることを示せ。

An real symmetric matrix is called positive definite if all its eigenvalues are positive.

(1) Let . Is the matrix positive definite?

(2) Let . Show that is positive definite if and only if and .

Kai

(1)

All eigenvalues are positive, hence is positive definite.

(2)

To ensure that , we have

which is or .

To ensure that , we have

Hence we have

Since , we know that the case is invalid. Therefore we have