広島大学 先進理工系科学研究科 電気システム制御プログラム 2022年8月実施 専門科目I A-3

标签：

• Hiroshima-University
• Conditional-Probability

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

1.

事象 $A, B, C$ は独立で $P(A) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{5}, P(A \cup C) = \frac{3}{7}$ を満たすとする。ただし、$P(D)$ は事象 $D$ の確率を表す。このとき、確率 $P(B), P(C)$ および条件付き確率 $P(A \cup B | C)$ を求めよ。

Suppose that independent events $A, B$ and $C$ satisfy $P(A) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{5}$ and $P(A \cup C) = \frac{3}{7}$, where $P(D)$ stands for the probability of an event $D$. Find the probabilities $P(B)$, $P(C)$ and the conditional probability $P(A \cup B | C)$.

2.

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \exp\{-(ax^2 + bx + c)\}$ で与えられている。ただし、$a, b, c$ は実数で $a > 0$ とする。

(1). $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ をそれぞれ $a, b$ を用いて表せ。

(2). $E(X) = 1, V(X) = 3$ のとき $c$ の値を求めよ。

Suppose that a random variable $X$ has the probability density function $f(x) = \exp\{-(ax^2 + bx + c)\}$, where $a, b$ and $c$ are real numbers with $a > 0$.

(1). Express the expectation $E(X)$ and the variance $V(X)$ of $X$ by using $a$ and $b$.

(2). Determine the value of $c$ if $E(X) = 1$ and $V(X) = 3$.

题目描述

1. 设事件 $A,B,C$ 相互独立，且 $P(A)=\frac13$、$P(A\cap B)=\frac15$、$P(A\cup C)=\frac37$，其中 $P(D)$ 表示事件 $D$ 的概率。求 $P(B)$、$P(C)$ 以及条件概率 $P(A\cup B\mid C)$。
2. 随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\exp\{-(ax^2+bx+c)\}$，其中 $a,b,c$ 为实数且 $a>0$。
   1. 用 $a,b$ 表示期望 $E(X)$ 和方差 $V(X)$。
   2. 当 $E(X)=1$、$V(X)=3$ 时，求 $c$ 的值。

Kai

1.

事象 $A,B,C$ が独立であることから、

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A)P(B), \\ P(B \cap C) &= P(B)P(C), \\ P(C \cap A) &= P(C)P(A), \\ P(A \cap B \cap C) &= P(A)P(B)P(C) \end{aligned}$$

が成り立つ。

(i)

$$\begin{aligned} P(B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ &= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{5} \end{aligned}$$

(ii)

$$\begin{aligned} P(A \cup C) &= P(A) + P(C) - P(A \cap C) \\ &= P(A) + P(C) - P(A)P(C) \\ &= P(A) + (1-P(A)) P(C) \\ \therefore \ \ P(C) &= \frac{P(A \cup C) - P(A)}{1 - P(A)} \\ &= \frac{\frac{3}{7} - \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= \frac{1}{7} \end{aligned}$$

(iii)

$$\begin{aligned} P((A \cup B) \cap C) &= P((A \cap C) \cup (B \cap C)) \\ &= P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C) \\ &= P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) \\ &= \frac{11}{105} \\ \therefore \ \ P(A \cup B \mid C) &= \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} \\ &= \frac{\frac{11}{105}}{\frac{1}{7}} \\ &= \frac{11}{15} \end{aligned}$$

2.

平方完成すると

$$ax^2+bx+c =a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.$$

したがって正規分布との比較から

$$\boxed{E(X)=-\frac{b}{2a}},\qquad \boxed{V(X)=\frac{1}{2a}}.$$

$E(X)=1$, $V(X)=3$ より $a=1/6$, $b=-1/3$ である。さらに

$$1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =e^{-c+b^2/(4a)}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

なので

$$\boxed{c=\frac{b^2}{4a}+\frac12\log\frac{\pi}{a} =\frac16+\frac12\log(6\pi)}.$$