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総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年08月実施 数理 第3問

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問1​

実数軸 R\mathbb R 上の点 PP の位置は平均 00、分散 11 の正規分布に従う。PP の原点からの距離の2乗が xx より小さい確率を求め、その距離の2乗の確率密度関数が

12πxe−x/2,x>0\frac1{\sqrt{2\pi x}}e^{-x/2},\qquad x>0

であることを示せ。

問2​

nn 次元ユークリッド空間 Rn\mathbb R^n の点 QQ の位置 (X1,…,Xn)(X_1,\ldots,X_n) は、平均ベクトルを 00、分散共分散行列を単位行列とする nn 変量正規分布に従う。原点からの距離の2乗の確率密度関数が

1Γ(n/2)2n/2xn/2−1e−x/2,x>0\frac1{\Gamma(n/2)2^{n/2}}x^{n/2-1}e^{-x/2},\qquad x>0

であることを示せ。ガンマ関数は Γ(z)=∫0∞e−xxz−1 dx\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x}x^{z-1}\,dx で定義され、Γ(1/2)=π\Gamma(1/2)=\sqrt\pi を用いてよい。

問3​

問2の分布を自由度 nn のカイ二乗分布という。独立な確率変数 X,YX,Y がそれぞれ自由度 n,mn,m のカイ二乗分布に従うとする。このとき、

X+Y,XX+YX+Y,\qquad\frac{X}{X+Y}

は独立であり、それぞれ自由度 n+mn+m のカイ二乗分布と母数 (n/2,m/2)(n/2,m/2) のベータ分布に従うことを示せ。母数 (α,β)(\alpha,\beta) のベータ分布とは、密度関数

Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1,0<x<1\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},\qquad0<x<1

をもつ分布をいう。

题目描述​

  1. 实数轴上的点 PP 的位置服从标准正态分布。求其到原点距离的平方小于 xx 的概率，并证明该平方的密度为 e−x/2/2πxe^{-x/2}/\sqrt{2\pi x}（x>0x>0）。
  2. Rn\mathbb R^n 中点 QQ 的坐标服从均值为零、协方差矩阵为单位矩阵的多元正态分布。证明其到原点距离的平方具有密度 xn/2−1e−x/2/[2n/2Γ(n/2)]x^{n/2-1}e^{-x/2}/[2^{n/2}\Gamma(n/2)]（x>0x>0）。可使用上述伽马函数定义及 Γ(1/2)=π\Gamma(1/2)=\sqrt\pi。
  3. 若独立的 X,YX,Y 分别服从自由度为 n,mn,m 的卡方分布，证明 X+YX+Y 与 X/(X+Y)X/(X+Y) 相互独立，前者服从自由度为 n+mn+m 的卡方分布，后者服从参数为 (n/2,m/2)(n/2,m/2) 的贝塔分布。贝塔分布的密度如上。

Kai​

問1​

PP の位置を U∼N(0,1)U\sim N(0,1) とする。x>0x>0 に対し、

Pr⁡(U2<x)=Pr⁡(−x<U<x)=22π∫0xe−u2/2 du.\Pr(U^2<x)=\Pr(-\sqrt x<U<\sqrt x) =\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\sqrt x}e^{-u^2/2}\,du.

x≤0x\le0 ではこの確率は 00 である。x>0x>0 で微分すると密度は

f1(x)=22πe−x/212x=12πxe−x/2.\boxed{f_1(x)=\frac2{\sqrt{2\pi}}e^{-x/2}\frac1{2\sqrt x} =\frac1{\sqrt{2\pi x}}e^{-x/2}}.

問2​

R2=X12+⋯+Xn2R^2=X_1^2+\cdots+X_n^2 とおく。同時密度は

(2π)−n/2exp⁡(−12∑i=1nxi2).(2\pi)^{-n/2}\exp\left(-\frac12\sum_{i=1}^nx_i^2\right).

nn 次元の極座標を用い、単位球面の表面積を Sn−1S_{n-1} とすると、x>0x>0 で

Pr⁡(R2<x)=(2π)−n/2Sn−1∫0xe−r2/2rn−1 dr.\Pr(R^2<x)=(2\pi)^{-n/2}S_{n-1}\int_0^{\sqrt x}e^{-r^2/2}r^{n-1}\,dr.

これを微分すれば、xx によらない定数 CC を用いて fn(x)=Cxn/2−1e−x/2f_n(x)=Cx^{n/2-1}e^{-x/2} と書ける。規格化条件において u=x/2u=x/2 と置換すると、

1=C∫0∞xn/2−1e−x/2 dx=C2n/2∫0∞un/2−1e−u du=C2n/2Γ(n/2).1=C\int_0^\infty x^{n/2-1}e^{-x/2}\,dx =C2^{n/2}\int_0^\infty u^{n/2-1}e^{-u}\,du =C2^{n/2}\Gamma(n/2).

よって

fn(x)=xn/2−1e−x/22n/2Γ(n/2)(x>0),\boxed{f_n(x)=\frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}}\quad(x>0),

それ以外では fn(x)=0f_n(x)=0 となる。n=1n=1 の場合も Γ(1/2)=π\Gamma(1/2)=\sqrt\pi により問1に一致する。

問3​

Z=X+YZ=X+Y、W=X/(X+Y)W=X/(X+Y) とおく。逆変換とヤコビアンは

x=zw,y=z(1−w),∣∂(x,y)∂(z,w)∣=∣∣wz1−w−z∣∣=z.x=zw,\qquad y=z(1-w),\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(z,w)}\right| =\left|\begin{vmatrix}w&z\\1-w&-z\end{vmatrix}\right|=z.

定義域 x,y>0x,y>0 は z>0, 0<w<1z>0,\ 0<w<1 に対応する。独立性を用いて変数変換すると、

fZ,W(z,w)=(zw)n/2−1{z(1−w)}m/2−1e−z/2z2(n+m)/2Γ(n/2)Γ(m/2)=z(n+m)/2−1e−z/22(n+m)/2Γ((n+m)/2)⏟自由度 n+m のカイ二乗密度×Γ((n+m)/2)Γ(n/2)Γ(m/2)wn/2−1(1−w)m/2−1⏟母数 (n/2,m/2) のベータ密度.\begin{aligned} f_{Z,W}(z,w) &=\frac{(zw)^{n/2-1}\{z(1-w)\}^{m/2-1}e^{-z/2}z} {2^{(n+m)/2}\Gamma(n/2)\Gamma(m/2)}\\ &=\underbrace{\frac{z^{(n+m)/2-1}e^{-z/2}} {2^{(n+m)/2}\Gamma((n+m)/2)}}_{\text{自由度 }n+m\text{ のカイ二乗密度}}\\ &\quad\times\underbrace{\frac{\Gamma((n+m)/2)}{\Gamma(n/2)\Gamma(m/2)} w^{n/2-1}(1-w)^{m/2-1}}_{\text{母数 }(n/2,m/2)\text{ のベータ密度}}. \end{aligned}

定義域が直積で、同時密度が規格化された2つの密度の積に分解されたので、

Z⊥W,Z∼χn+m2,W∼Beta⁡(n/2,m/2).\boxed{Z\perp W,\qquad Z\sim\chi^2_{n+m},\qquad W\sim\operatorname{Beta}(n/2,m/2)}.

Reference​

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