総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年8月実施 数理 第3問

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• 综合研究大学院大学
• 卡方分布
• 贝塔分布
• 随机变量变换

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

実数軸 $\mathbb R$ に点 $P$ があり、その位置は平均 $0$、分散 $1$ の正規分布に従うとする。$P$ の原点からの距離の $2$ 乗が $x$ より小さい確率を求めて、$P$ の原点からの距離の $2$ 乗の確率密度関数が

$$\frac1{\sqrt{2\pi x}}e^{-x/2},\qquad x>0$$

であることを示せ。

問2

$n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb R^n$ に点 $Q$ があり、その位置 $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ は平均ベクトルを $0$、分散共分散行列を単位行列とする $n$ 変量正規分布に従うとする。$Q$ の原点からの距離の $2$ 乗の確率密度関数が

$$\frac1{\Gamma(n/2)2^{n/2}}x^{n/2-1}e^{-x/2},\qquad x>0$$

であることを示せ。ただし、$\Gamma(z)$ はガンマ関数で、

$$\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x}x^{z-1}\,dx$$

で与えられ、$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ であることを用いてよい。

問3

問2の分布を自由度 $n$ のカイ二乗分布という。独立な確率変数 $X$ と $Y$ があり、$X$ が自由度 $n$ のカイ二乗分布に従い、$Y$ が自由度 $m$ のカイ二乗分布に従うとき、確率変数

$$X+Y,\qquad\frac{X}{X+Y}$$

が独立で、それぞれ自由度 $n+m$ のカイ二乗分布と母数 $(n/2,m/2)$ のベータ分布に従うことを示せ。ただし、母数 $(\alpha,\beta)$ のベータ分布とは、確率密度関数

$$\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},\qquad0<x<1$$

をもつ分布のことをいう。

题目描述

问1 实数轴 $\mathbb R$ 上有一点 $P$，其位置服从均值为 $0$、方差为 $1$ 的正态分布。求 $P$ 到原点距离的平方小于 $x$ 的概率，并证明该距离平方的概率密度函数为

$$\frac1{\sqrt{2\pi x}}e^{-x/2},\qquad x>0.$$

问2 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb R^n$ 中有一点 $Q$，其位置 $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ 服从均值向量为 $0$、协方差矩阵为单位矩阵的 $n$ 元正态分布。证明 $Q$ 到原点距离的平方的概率密度函数为

$$\frac1{\Gamma(n/2)2^{n/2}}x^{n/2-1}e^{-x/2},\qquad x>0.$$

其中，$\Gamma(z)$ 为伽马函数，定义为

$$\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-x}x^{z-1}\,dx.$$

可以使用 $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$。

问3 问2中的分布称为自由度为 $n$ 的卡方分布。设随机变量 $X,Y$ 相互独立，$X$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，$Y$ 服从自由度为 $m$ 的卡方分布。证明随机变量

$$X+Y,\qquad\frac{X}{X+Y}$$

相互独立，且分别服从自由度为 $n+m$ 的卡方分布和参数为 $(n/2,m/2)$ 的贝塔分布。其中，参数为 $(\alpha,\beta)$ 的贝塔分布是指具有下列概率密度函数的分布：

$$\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},\qquad0<x<1.$$

Kai

問1

$P$ の位置を $U\sim N(0,1)$ とする。$x>0$ に対し、

$$\begin{gathered} \Pr(U^2<x)=\Pr(-\sqrt x<U<\sqrt x)\\ =\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\sqrt x}e^{-u^2/2}\,du. \end{gathered}$$

$x\le0$ ではこの確率は $0$ である。$x>0$ で微分すると密度は

$$\boxed{f_1(x)=\frac2{\sqrt{2\pi}}e^{-x/2}\frac1{2\sqrt x} =\frac1{\sqrt{2\pi x}}e^{-x/2}}.$$

問2

$R^2=X_1^2+\cdots+X_n^2$ とおく。同時密度は

$$(2\pi)^{-n/2}\exp\left(-\frac12\sum_{i=1}^nx_i^2\right).$$

$n$ 次元の極座標を用い、単位球面の表面積を $S_{n-1}$ とすると、$x>0$ で

$$\Pr(R^2<x)=(2\pi)^{-n/2}S_{n-1}\int_0^{\sqrt x}e^{-r^2/2}r^{n-1}\,dr.$$

これを微分すれば、$x$ によらない定数 $C$ を用いて $f_n(x)=Cx^{n/2-1}e^{-x/2}$ と書ける。規格化条件において $u=x/2$ と置換すると、

$$\begin{gathered} 1=C\int_0^\infty x^{n/2-1}e^{-x/2}\,dx\\ =C2^{n/2}\int_0^\infty u^{n/2-1}e^{-u}\,du\\ =C2^{n/2}\Gamma(n/2). \end{gathered}$$

よって

$$\boxed{f_n(x)=\frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}}\quad(x>0),$$

それ以外では $f_n(x)=0$ となる。$n=1$ の場合も $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ により問1に一致する。

問3

$Z=X+Y$、$W=X/(X+Y)$ とおく。逆変換とヤコビアンは

$$\begin{gathered} x=zw,\\ y=z(1-w),\\ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(z,w)}\right| =\left|\begin{vmatrix}w&z\\1-w&-z\end{vmatrix}\right|=z. \end{gathered}$$

定義域 $x,y>0$ は $z>0,\ 0<w<1$ に対応する。独立性を用いて変数変換すると、

$$\begin{aligned} f_{Z,W}(z,w) &=\frac{(zw)^{n/2-1}\{z(1-w)\}^{m/2-1}e^{-z/2}z} {2^{(n+m)/2}\Gamma(n/2)\Gamma(m/2)}\\ &=\underbrace{\frac{z^{(n+m)/2-1}e^{-z/2}} {2^{(n+m)/2}\Gamma((n+m)/2)}}_{\text{自由度 }n+m\text{ のカイ二乗密度}}\\ &\quad\times\underbrace{\frac{\Gamma((n+m)/2)}{\Gamma(n/2)\Gamma(m/2)} w^{n/2-1}(1-w)^{m/2-1}}_{\text{母数 }(n/2,m/2)\text{ のベータ密度}}. \end{aligned}$$

定義域が直積で、同時密度が規格化された2つの密度の積に分解されたので、

$$\boxed{\begin{gathered} Z\perp W,\\ Z\sim\chi^2_{n+m},\\ W\sim\operatorname{Beta}(n/2,m/2) \end{gathered}}.$$

Reference

• 大学公式問題（2018年08月、PDF 5ページ）
• miyake：対応する解答