総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年08月実施 数理 第2問

标签：

• 综合研究大学院大学
• 格拉姆矩阵
• 对称矩阵的正交对角化

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

実対称行列は直交行列により対角化できる。すなわち、$n$ 次実対称行列 $A$ に対し、適当な $n$ 次直交行列 $T$ をとると

$$TAT^{-1}=\operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$$

とできる。$\operatorname{diag}(\cdots)$ は括弧内を対角成分とする対角行列で、実数 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ は $A$ の固有値である。$T$ が直交行列であるとは、$T^T$ を転置行列、$E$ を単位行列として $T^TT=E$ を満たすことをいう。

1. 任意の実行列 $B$ について、$B^TB$ の固有値は非負であることを示せ。
2. 次の $B$ について、$B^TB$ の固有値と、$0$ でない固有値に属する固有ベクトルを求めよ。

$$B=\begin{pmatrix}0&\sqrt3&1\\0&0&2\end{pmatrix}.$$

3. 問2の $B$ について、$VB^TBV^{-1}$ を対角行列とする直交行列 $V$ を1つ求めよ。

题目描述

实对称矩阵可由正交矩阵对角化：$TAT^{-1}=\operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$，其中 $\alpha_i$ 为实特征值，$T^TT=E$。

1. 证明对任意实矩阵 $B$，$B^TB$ 的特征值均非负。
2. 对给定的二行三列矩阵 $B$，求 $B^TB$ 的全部特征值，以及非零特征值对应的特征向量。
3. 求一个正交矩阵 $V$，使 $VB^TBV^{-1}$ 为对角矩阵。

Kai

問1

$B^TB$ は実対称行列なので、固有値は実数であり、固有ベクトルは実ベクトルに選べる。$B^TBx=\lambda x$、$x\ne0$ とすると、

$$\lambda\|x\|^2=x^TB^TBx=\|Bx\|^2\ge0.$$

$\|x\|^2>0$ より $\boxed{\lambda\ge0}$ である。

問2

行列積と固有多項式は

$$C=B^TB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&3&\sqrt3\\0&\sqrt3&5\end{pmatrix},$$

$$\det(\lambda E-C)=\lambda\{(\lambda-3)(\lambda-5)-3\} =\lambda(\lambda-2)(\lambda-6).$$

したがって固有値は $\boxed{0,2,6}$ である。

$\lambda=2$ では $(C-2E)(x,y,z)^T=0$ より $x=0$、$y+\sqrt3z=0$ なので、規格化した固有ベクトルは

$$\boxed{u_2=\begin{pmatrix}0\\\sqrt3/2\\-1/2\end{pmatrix}}.$$

$\lambda=6$ では $x=0$、$z=\sqrt3y$ なので、同様に

$$\boxed{u_6=\begin{pmatrix}0\\1/2\\\sqrt3/2\end{pmatrix}}.$$

各固有空間は、それぞれ表示したベクトルのスカラー倍からなる。

問3

固有値 $0$ の規格化固有ベクトルを $u_0=(1,0,0)^T$ とする。$u_0,u_2,u_6$ は正規直交系なので、これらを行に並べた

$$\boxed{V=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\sqrt3/2&-1/2\\0&1/2&\sqrt3/2\end{pmatrix}}$$

は直交行列である。$V^{-1}=V^T$ であり、

$$\boxed{VB^TBV^{-1}=\operatorname{diag}(0,2,6)}.$$

Reference

• 大学公式問題（2018年08月、PDF 4ページ）
• miyake：対応する解答