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総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年8月実施 数理 第2問

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

実対称行列は直交行列により対角化できる。nn 次実対称行列 AA に対し、適当な nn 次直交行列 TT をとると、

TAT−1=diag⁡(α1,α2,…,αn)TAT^{-1}=\operatorname{diag}(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)

とできる。ここで、diag⁡(…)\operatorname{diag}(\ldots) は括弧の中を対角成分とする対角行列を表し、実数 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n は AA の固有値である。ただし、TT が直交行列であるとは、TTT^T を TT の転置行列、EE を単位行列として、TT が TTT=ET^TT=E を満たすことをいう。

問1​

任意の実行列 BB について、BTBB^TB の固有値は非負であることを示せ。

問2​

B=(031002)B=\begin{pmatrix}0&\sqrt3&1\\0&0&2\end{pmatrix}

とする。BTBB^TB の固有値と、00 でない固有値に属する固有ベクトルを求めよ。

問3​

問2の BB について、VBTBV−1VB^TBV^{-1} を対角行列とする直交行列 VV をひとつ求めよ。

题目描述​

实对称矩阵可以用正交矩阵对角化。对于 nn 阶实对称矩阵 AA，选取适当的 nn 阶正交矩阵 TT，可以使

TAT−1=diag⁡(α1,α2,…,αn).TAT^{-1}=\operatorname{diag}(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n).

其中，diag⁡(…)\operatorname{diag}(\ldots) 表示以括号内元素为对角元的对角矩阵；实数 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n 是 AA 的特征值。称 TT 为正交矩阵，是指 TT 满足 TTT=ET^TT=E，其中 TTT^T 为 TT 的转置矩阵，EE 为单位矩阵。

问1 对于任意实矩阵 BB，证明 BTBB^TB 的特征值非负。

问2 设

B=(031002).B=\begin{pmatrix}0&\sqrt3&1\\0&0&2\end{pmatrix}.

求 BTBB^TB 的特征值，以及非零特征值对应的特征向量。

问3 对于问2中的 BB，求一个正交矩阵 VV，使 VBTBV−1VB^TBV^{-1} 为对角矩阵。

Kai​

問1​

BTBB^TB は実対称行列なので、固有値は実数であり、固有ベクトルは実ベクトルに選べる。BTBx=λxB^TBx=\lambda x、x≠0x\ne0 とすると、

λ∥x∥2=xTBTBx=∥Bx∥2≥0.\lambda\|x\|^2=x^TB^TBx=\|Bx\|^2\ge0.

∥x∥2>0\|x\|^2>0 より λ≥0\boxed{\lambda\ge0} である。

問2​

行列積と固有多項式は

C=BTB=(000033035),C=B^TB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&3&\sqrt3\\0&\sqrt3&5\end{pmatrix},
det⁡(λE−C)=λ{(λ−3)(λ−5)−3}=λ(λ−2)(λ−6).\begin{gathered} \det(\lambda E-C)=\lambda\{(\lambda-3)(\lambda-5)-3\}\\ =\lambda(\lambda-2)(\lambda-6). \end{gathered}

したがって固有値は 0,2,6\boxed{0,2,6} である。

λ=2\lambda=2 では (C−2E)(x,y,z)T=0(C-2E)(x,y,z)^T=0 より x=0x=0、y+3z=0y+\sqrt3z=0 なので、規格化した固有ベクトルは

u2=(03/2−1/2).\boxed{u_2=\begin{pmatrix}0\\\sqrt3/2\\-1/2\end{pmatrix}}.

λ=6\lambda=6 では x=0x=0、z=3yz=\sqrt3y なので、同様に

u6=(01/23/2).\boxed{u_6=\begin{pmatrix}0\\1/2\\\sqrt3/2\end{pmatrix}}.

各固有空間は、それぞれ表示したベクトルのスカラー倍からなる。

問3​

固有値 00 の規格化固有ベクトルを u0=(1,0,0)Tu_0=(1,0,0)^T とする。u0,u2,u6u_0,u_2,u_6 は正規直交系なので、これらを行に並べた

V=(10003/2−1/201/23/2)\boxed{V=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\sqrt3/2&-1/2\\0&1/2&\sqrt3/2\end{pmatrix}}

は直交行列である。V−1=VTV^{-1}=V^T であり、

VBTBV−1=diag⁡(0,2,6).\boxed{VB^TBV^{-1}=\operatorname{diag}(0,2,6)}.

Reference​

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