総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年08月実施 数理 第1問

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• 综合研究大学院大学
• 逆矩阵
• 微分
• 泰勒级数
• 格拉姆–施密特正交化

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

次の各行列が逆行列をもつか否かを判定せよ。もつ場合は逆行列を求めよ。もたない場合は、その行列に右から乗じると積が零行列となる、零行列でない行列を1つ求めよ。

$$\text{(1)}\quad\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix},\qquad \text{(2)}\quad\begin{pmatrix}1&3\\3&9\end{pmatrix}.$$

問2

次の関数を $x$ について微分せよ。

$$\text{(1)}\quad5^{x^2-3x+1},\qquad \text{(2)}\quad\log\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\quad(|x|<1).$$

問3

$(1+x)^{1/x}$ を、$|x|<1$ において $x=0$ の周りに $x$ の2次までマクローリン展開せよ。

問4

次の3つのベクトルで張られる $\mathbb R^4$ の線形部分空間の正規直交基底を一組求めよ。

$$v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}2\\1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}.$$

题目描述

1. 判断给定的两个二阶矩阵是否可逆。若可逆，求逆矩阵；否则给出一个非零矩阵，使其右乘于原矩阵后得到零矩阵。
2. 对 $5^{x^2-3x+1}$ 及 $\log\sqrt{(1-x)/(1+x)}$（$|x|<1$）求导。
3. 将 $(1+x)^{1/x}$ 在 $x=0$ 附近展开至二次项，$|x|<1$。
4. 求上述 $v_1,v_2,v_3$ 张成的 $\mathbb R^4$ 子空间的一组标准正交基。

Kai

問1

(1) 行列式は $4-6=-2\ne0$ なので逆行列をもち、

$$\boxed{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}^{-1} =-\frac12\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}}.$$

(2) 行列式は $9-9=0$ なので逆行列をもたない。零空間には $(-3,1)^T$ が含まれるので、例えば

$$\boxed{N=\begin{pmatrix}-3&0\\1&0\end{pmatrix}}\ne0, \qquad\begin{pmatrix}1&3\\3&9\end{pmatrix}N=0$$

とすればよい。

問2

(1) 合成関数の微分により

$$\boxed{\frac d{dx}5^{x^2-3x+1}=(\log5)(2x-3)5^{x^2-3x+1}}.$$

(2) $|x|<1$ では $1\pm x>0$ なので、

$$\frac d{dx}\log\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} =\frac12\left(-\frac1{1-x}-\frac1{1+x}\right) =\boxed{-\frac1{1-x^2}}.$$

問3

$x=0$ では極限値 $e$ によって連続的に定義する。対数の展開から

$$\frac{\log(1+x)}x=1-\frac x2+\frac{x^2}3+O(x^3).$$

したがって、

$$\begin{aligned} (1+x)^{1/x} &=e\exp\left(-\frac x2+\frac{x^2}3+O(x^3)\right)\\ &=e\left[1-\frac x2+\frac{x^2}3+\frac12\left(-\frac x2\right)^2+O(x^3)\right]\\ &=\boxed{e\left(1-\frac x2+\frac{11x^2}{24}\right)+O(x^3)}. \end{aligned}$$

問4

Gram–Schmidt の直交化を行う。$v_1^Tv_1=6$、$v_1^Tv_2=5$ より

$$u_1=v_1,\qquad u_2=v_2-\frac56v_1=\frac16\begin{pmatrix}7\\-4\\0\\1\end{pmatrix}.$$

$w_2=(7,-4,0,1)^T$ とおくと、$w_2^Tw_2=66$、$v_3^Tv_1=3$、$v_3^Tw_2=9$ なので、

$$u_3=v_3-\frac12v_1-\frac3{22}w_2 =\frac1{11}\begin{pmatrix}-5\\-5\\11\\15\end{pmatrix}.$$

これらはすべて非零であり、規格化して次の一組を得る。

$$\boxed{ \frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix},\quad \frac1{\sqrt{66}}\begin{pmatrix}7\\-4\\0\\1\end{pmatrix},\quad \frac1{6\sqrt{11}}\begin{pmatrix}-5\\-5\\11\\15\end{pmatrix} }.$$

Reference

• 大学公式問題（2018年08月、PDF 3ページ）
• miyake：対応する解答