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総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年8月実施 数理 第1問

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問1​

次の行列が逆行列を持つか否かを判定せよ。また、逆行列を持つ場合はそれを求め、持たない場合は、その行列に右から乗じると積が零行列となる行列で、零行列ではないものをひとつ求めよ。

(1) (1324)\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}

(2) (1339)\begin{pmatrix}1&3\\3&9\end{pmatrix}

問2​

次の関数を xx について微分せよ。

(1) 5x2−3x+15^{x^2-3x+1}

(2) log⁡1−x1+x\log\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}、∣x∣<1|x|<1

問3​

次の関数を ∣x∣<1|x|<1 において x=0x=0 の周りに xx の 22 次までマクローリン展開せよ。

(1+x)1/x(1+x)^{1/x}

問4​

次の 33 つのベクトルで張られる R4\mathbb R^4 の線形部分空間における正規直交基底を一組求めよ。

(1201),(2101),(1012)\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}2\\1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}

题目描述​

问1 判断下列矩阵是否可逆。若可逆，求其逆矩阵；若不可逆，求一个非零矩阵，使其从右侧乘到原矩阵后，乘积为零矩阵。

(1) (1324)\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}

(2) (1339)\begin{pmatrix}1&3\\3&9\end{pmatrix}

问2 将下列函数对 xx 求导。

(1) 5x2−3x+15^{x^2-3x+1}

(2) log⁡1−x1+x\log\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}，∣x∣<1|x|<1

问3 在 ∣x∣<1|x|<1 内，将下列函数在 x=0x=0 周围作麦克劳林展开，写到 xx 的二次项。

(1+x)1/x(1+x)^{1/x}

问4 求下列三个向量张成的 R4\mathbb R^4 线性子空间的一组标准正交基。

(1201),(2101),(1012)\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}2\\1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}

Kai​

問1​

(1) 行列式は 4−6=−2≠04-6=-2\ne0 なので逆行列をもち、

(1324)−1=−12(4−3−21).\boxed{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}^{-1} =-\frac12\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}}.

(2) 行列式は 9−9=09-9=0 なので逆行列をもたない。零空間には (−3,1)T(-3,1)^T が含まれるので、例えば

N=(−3010)≠0,(1339)N=0\boxed{N=\begin{pmatrix}-3&0\\1&0\end{pmatrix}}\ne0, \qquad\begin{pmatrix}1&3\\3&9\end{pmatrix}N=0

とすればよい。

問2​

(1) 合成関数の微分により

ddx5x2−3x+1=(log⁡5)(2x−3)5x2−3x+1.\boxed{\frac d{dx}5^{x^2-3x+1}=(\log5)(2x-3)5^{x^2-3x+1}}.

(2) ∣x∣<1|x|<1 では 1±x>01\pm x>0 なので、

ddxlog⁡1−x1+x=12(−11−x−11+x)=−11−x2.\begin{gathered} \frac d{dx}\log\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} =\frac12\left(-\frac1{1-x}-\frac1{1+x}\right)\\ =\boxed{-\frac1{1-x^2}}. \end{gathered}

問3​

x=0x=0 では極限値 ee によって連続的に定義する。対数の展開から

log⁡(1+x)x=1−x2+x23+O(x3).\frac{\log(1+x)}x=1-\frac x2+\frac{x^2}3+O(x^3).

したがって、

(1+x)1/x=eexp⁡(−x2+x23+O(x3))=e[1−x2+x23+12(−x2)2+O(x3)]=e(1−x2+11x224)+O(x3).\begin{aligned} (1+x)^{1/x} &=e\exp\left(-\frac x2+\frac{x^2}3+O(x^3)\right)\\ &=e\left[1-\frac x2+\frac{x^2}3+\frac12\left(-\frac x2\right)^2+O(x^3)\right]\\ &=\boxed{e\left(1-\frac x2+\frac{11x^2}{24}\right)+O(x^3)}. \end{aligned}

問4​

Gram–Schmidt の直交化を行う。v1Tv1=6v_1^Tv_1=6、v1Tv2=5v_1^Tv_2=5 より

u1=v1,u2=v2−56v1=16(7−401).u_1=v_1,\qquad u_2=v_2-\frac56v_1=\frac16\begin{pmatrix}7\\-4\\0\\1\end{pmatrix}.

w2=(7,−4,0,1)Tw_2=(7,-4,0,1)^T とおくと、w2Tw2=66w_2^Tw_2=66、v3Tv1=3v_3^Tv_1=3、v3Tw2=9v_3^Tw_2=9 なので、

u3=v3−12v1−322w2=111(−5−51115).u_3=v_3-\frac12v_1-\frac3{22}w_2 =\frac1{11}\begin{pmatrix}-5\\-5\\11\\15\end{pmatrix}.

これらはすべて非零であり、規格化して次の一組を得る。

16(1201),166(7−401),1611(−5−51115).\boxed{\begin{gathered} \frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix},\\ \frac1{\sqrt{66}}\begin{pmatrix}7\\-4\\0\\1\end{pmatrix},\\ \frac1{6\sqrt{11}}\begin{pmatrix}-5\\-5\\11\\15\end{pmatrix} \end{gathered}}.

Reference​

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