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総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年1月実施 数理 第2問

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

正方行列 AA に対し、fA(x)=∣xE−A∣f_A(x)=|xE-A| を AA の固有多項式という。fA(A)=0f_A(A)=0 となることを Hamilton-Cayley の定理という。f(A)=0f(A)=0 となるようなスカラーを係数とする多項式 f(x)f(x) のうち次数が最小かつ最高次の係数が 11 となるものを AA の最小多項式という。

問1​

f(A)=0f(A)=0 となる多項式はすべて最小多項式で割り切れることを示し、最小多項式 φA(x)\varphi_A(x) が一意に定まることを示せ。

問2​

正則行列 PP について、φP−1AP(x)=φA(x)\varphi_{P^{-1}AP}(x)=\varphi_A(x) を示せ。

問3​

正方行列 AA が、ある正則行列 PP について

P−1AP=diag⁡(α1,…,α1,α2,…,α2,…,αs,…,αs)\begin{aligned} P^{-1}AP=\operatorname{diag}(&\alpha_1,\ldots,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_2,\\ &\ldots,\alpha_s,\ldots,\alpha_s) \end{aligned}

を満たすとき、AA は対角化可能であるという。ただし、diag⁡(…)\operatorname{diag}(\ldots) は括弧の中を対角成分とする対角行列を表す。AA が対角化可能であれば、φA(x)\varphi_A(x) は重根をもたないことを示せ。

問4​

行列

(0100111−12)\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&1\\1&-1&2\end{pmatrix}

が対角化可能か否かを判定せよ。

题目描述​

对于方阵 AA，称 fA(x)=∣xE−A∣f_A(x)=|xE-A| 为 AA 的特征多项式。fA(A)=0f_A(A)=0 这一结论称为 Hamilton-Cayley 定理。在使 f(A)=0f(A)=0 的标量系数多项式 f(x)f(x) 中，次数最低且最高次项系数为 11 的多项式称为 AA 的最小多项式。

问1 证明所有满足 f(A)=0f(A)=0 的多项式都能被最小多项式整除，并证明最小多项式 φA(x)\varphi_A(x) 唯一确定。

问2 对于可逆矩阵 PP，证明 φP−1AP(x)=φA(x)\varphi_{P^{-1}AP}(x)=\varphi_A(x)。

问3 若存在可逆矩阵 PP，使方阵 AA 满足

P−1AP=diag⁡(α1,…,α1,α2,…,α2,…,αs,…,αs),\begin{aligned} P^{-1}AP=\operatorname{diag}(&\alpha_1,\ldots,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_2,\\ &\ldots,\alpha_s,\ldots,\alpha_s), \end{aligned}

则称 AA 可对角化。其中，diag⁡(…)\operatorname{diag}(\ldots) 表示以括号内元素为对角元的对角矩阵。证明：若 AA 可对角化，则 φA(x)\varphi_A(x) 没有重根。

问4 判断矩阵

(0100111−12)\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&1\\1&-1&2\end{pmatrix}

是否可对角化。

Kai​

問1​

多項式の除法によって

f(x)=q(x)φA(x)+r(x),deg⁡r<deg⁡φA\begin{gathered} f(x)=q(x)\varphi_A(x)+r(x),\\ \deg r<\deg\varphi_A \end{gathered}

と書く。AA を代入すると r(A)=0r(A)=0 となる。rr が零多項式でなければ、その最高次係数で割ることで、φA\varphi_A より低次数の首一消去多項式が得られ、最小性に反する。したがって r=0r=0 であり、φA∣f\varphi_A\mid f が成り立つ。

別の最小多項式 ψ\psi があれば φA∣ψ\varphi_A\mid\psi である。両者の次数は等しく、最高次係数も 11 なので ψ=φA\psi=\varphi_A となり、一意性が従う。

問2​

任意の多項式 ff に対して

f(P−1AP)=P−1f(A)Pf(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P

である。したがって、f(P−1AP)=0f(P^{-1}AP)=0 と f(A)=0f(A)=0 は同値であり、両行列の消去多項式の集合が一致する。問1の一意性から

φP−1AP(x)=φA(x).\boxed{\varphi_{P^{-1}AP}(x)=\varphi_A(x)}.

問3​

対角行列 D=P−1APD=P^{-1}AP の相異なる対角成分を α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_s とする。

g(x)=∏j=1s(x−αj)g(x)=\prod_{j=1}^s(x-\alpha_j)

とおけば g(D)=0g(D)=0 である。問1より φD∣g\varphi_D\mid g、問2より φA=φD\varphi_A=\varphi_D となる。gg は重根をもたないので、その因子 φA\varphi_A も重根をもたない。

問4​

固有多項式は

fA(x)=∣x−100x−1−1−11x−2∣=x(x−1)(x−2)+x−1=(x−1)3.\begin{aligned} f_A(x)&=\begin{vmatrix}x&-1&0\\0&x-1&-1\\-1&1&x-2\end{vmatrix}\\ &=x(x-1)(x-2)+x-1=(x-1)^3. \end{aligned}

また、

(A−E)2=(1−111−11000)≠0,(A−E)3=0.\begin{gathered} (A-E)^2=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\ne0,\\ (A-E)^3=0. \end{gathered}

したがって φA(x)=(x−1)3\varphi_A(x)=(x-1)^3 であり、重根をもつ。問3の対偶から、A は対角化不可能\boxed{A\text{ は対角化不可能}} である。

Reference​

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