総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年1月実施 数理 第1問

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• 综合研究大学院大学
• 行列式
• 部分分式分解积分法
• 泰勒级数

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

行列

$$A=\begin{pmatrix}3&2&0\\5&4&1\\0&1&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&8&0\\6&1&2\\2&0&3\end{pmatrix}$$

について、$A+B,AB$ を求めよ。

問2

次の行列式の値を求めよ。

$$\begin{vmatrix}1&1&1&2\\2&3&3&5\\1&4&9&5\\4&1&2&5\end{vmatrix}$$

問3

次の積分の値を求めよ。

(1) $\displaystyle\int_3^5\frac{dx}{x^2-9x+14}$

(2) $\displaystyle\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4x+5}$

問4

次の極限を求めよ。

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin^{-1}x-x}{x^3}$$

题目描述

问1 对于矩阵

$$A=\begin{pmatrix}3&2&0\\5&4&1\\0&1&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&8&0\\6&1&2\\2&0&3\end{pmatrix},$$

求 $A+B,AB$。

问2 求下列行列式的值。

$$\begin{vmatrix}1&1&1&2\\2&3&3&5\\1&4&9&5\\4&1&2&5\end{vmatrix}$$

问3 求下列积分的值。

(1) $\displaystyle\int_3^5\frac{dx}{x^2-9x+14}$

(2) $\displaystyle\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4x+5}$

问4 求下列极限。

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin^{-1}x-x}{x^3}$$

Kai

問1

和は成分ごとに計算し、積は $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^3A_{ik}B_{kj}$ を用いる。結果は

$$\begin{gathered} \boxed{A+B=\begin{pmatrix}5&10&0\\11&5&3\\2&1&5\end{pmatrix}},\\ \boxed{AB=\begin{pmatrix}18&26&4\\36&44&11\\10&1&8\end{pmatrix}}. \end{gathered}$$

問2

第4列は第1列と第2列の和である。列ベクトルが一次従属なので、行列式は $\boxed{0}$ である。

問3

(1) $x^2-9x+14=(x-2)(x-7)$ より、

$$\begin{aligned} \int_3^5\frac{dx}{x^2-9x+14} &=\frac15\int_3^5\left(\frac1{x-7}-\frac1{x-2}\right)dx\\ &=\frac15\left[\log\left|\frac{x-7}{x-2}\right|\right]_3^5 =\boxed{-\frac15\log6}. \end{aligned}$$

(2) 平方完成すると、

$$\begin{aligned} \int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4x+5} &=\lim_{R\to\infty}\int_0^R\frac{dx}{(x+2)^2+1}\\ &=\lim_{R\to\infty}[\arctan(x+2)]_0^R =\boxed{\frac\pi2-\arctan2}. \end{aligned}$$

問4

$y=\arcsin x$ とおく。$x\to0$ のとき $y\to0$ であり、$\sin y=y-y^3/6+O(y^5)$ なので、

$$\begin{gathered} \lim_{x\to0}\frac{\arcsin x-x}{x^3} =\lim_{y\to0}\frac{y-\sin y}{\sin^3y}\\ =\lim_{y\to0}\frac{y^3/6+O(y^5)}{y^3(1+O(y^2))}\\ =\boxed{\frac16}. \end{gathered}$$

Reference

• 大学公式問題（2018年01月、PDF 3ページ）
• miyake：対応する解答