総合研究大学院大学 複合科学研究科 統計科学専攻 2018年01月実施 数理 第1問

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• 综合研究大学院大学
• 行列式
• 部分分式分解积分法
• 泰勒级数

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

次の行列について $A+B,AB$ を求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}3&2&0\\5&4&1\\0&1&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&8&0\\6&1&2\\2&0&3\end{pmatrix}.$$

問2

次の行列式の値を求めよ。

$$\begin{vmatrix}1&1&1&2\\2&3&3&5\\1&4&9&5\\4&1&2&5\end{vmatrix}.$$

問3

次の積分の値を求めよ。

$$\text{(1)}\quad\int_3^5\frac{dx}{x^2-9x+14},\qquad \text{(2)}\quad\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4x+5}.$$

問4

次の極限を求めよ。$\sin^{-1}x$ は逆正弦関数を表す。

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin^{-1}x-x}{x^3}.$$

题目描述

1. 对上述矩阵 $A,B$，求 $A+B$ 与 $AB$。
2. 求上述四阶行列式的值。
3. 求定积分 $\int_3^5(x^2-9x+14)^{-1}\,dx$ 和广义积分 $\int_0^\infty(x^2+4x+5)^{-1}\,dx$。
4. 求 $\lim_{x\to0}(\arcsin x-x)/x^3$。

Kai

問1

和は成分ごとに計算し、積は $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^3A_{ik}B_{kj}$ を用いる。結果は

$$\boxed{A+B=\begin{pmatrix}5&10&0\\11&5&3\\2&1&5\end{pmatrix}},\qquad \boxed{AB=\begin{pmatrix}18&26&4\\36&44&11\\10&1&8\end{pmatrix}}.$$

問2

第4列は第1列と第2列の和である。列ベクトルが一次従属なので、行列式は $\boxed{0}$ である。

問3

(1) $x^2-9x+14=(x-2)(x-7)$ より、

$$\begin{aligned} \int_3^5\frac{dx}{x^2-9x+14} &=\frac15\int_3^5\left(\frac1{x-7}-\frac1{x-2}\right)dx\\ &=\frac15\left[\log\left|\frac{x-7}{x-2}\right|\right]_3^5 =\boxed{-\frac15\log6}. \end{aligned}$$

(2) 平方完成すると、

$$\begin{aligned} \int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4x+5} &=\lim_{R\to\infty}\int_0^R\frac{dx}{(x+2)^2+1}\\ &=\lim_{R\to\infty}[\arctan(x+2)]_0^R =\boxed{\frac\pi2-\arctan2}. \end{aligned}$$

問4

$y=\arcsin x$ とおく。$x\to0$ のとき $y\to0$ であり、$\sin y=y-y^3/6+O(y^5)$ なので、

$$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x-x}{x^3} =\lim_{y\to0}\frac{y-\sin y}{\sin^3y} =\lim_{y\to0}\frac{y^3/6+O(y^5)}{y^3(1+O(y^2))} =\boxed{\frac16}.$$

Reference

• 大学公式問題（2018年01月、PDF 3ページ）
• miyake：対応する解答