総合研究大学院大学複合科学研究科統計科学専攻 2016年8月実施数理第3問

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

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標準正規分布の密度関数と分布関数をそれぞれ $\phi(x)$ と $\Phi(x)$ で表す。

\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac12x^2\right),\qquad \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\phi(v)\,dv.

確率変数 $X$ と $Y$ は独立に標準正規分布に従うとする。 $\lambda$ は実数とする。

問1

以下の式が成り立つことを示せ。

\Pr(Y\le z,X<\lambda Y)=\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv.

問2

以下の式が成り立つことを示せ。

\int_{-z}^\infty\{1-\Phi(\lambda y)\}\phi(y)\,dy =\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv.

問3

次で確率変数 $Z$ を定義する。

Z=\begin{cases}Y&X<\lambda Y,\\-Y&X\ge\lambda Y.\end{cases}

確率変数 $Z$ の分布関数が以下の式で表されることを示せ。

\Pr(Z\le z)=\int_{-\infty}^z2\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv.

题目描述

分别用 $\phi(x)$ 和 $\Phi(x)$ 表示标准正态分布的密度函数和分布函数：

\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac12x^2\right),\qquad \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\phi(v)\,dv.

随机变量 $X,Y$ 相互独立且均服从标准正态分布。 $\lambda$ 为实数。

问1 证明下式成立。

\Pr(Y\le z,X<\lambda Y)=\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv.

问2 证明下式成立。

\int_{-z}^\infty\{1-\Phi(\lambda y)\}\phi(y)\,dy =\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv.

问3 定义随机变量

Z=\begin{cases}Y&X<\lambda Y,\\-Y&X\ge\lambda Y.\end{cases}

证明 $Z$ 的分布函数可表示为

\Pr(Z\le z)=\int_{-\infty}^z2\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv.

Kai

問1

独立性より $(X,Y)$ の同時密度は $\phi(x)\phi(y)$ である。したがって、

\begin{aligned} \Pr(Y\le z,X<\lambda Y) &=\int_{-\infty}^z\phi(y)\left(\int_{-\infty}^{\lambda y}\phi(x)\,dx\right)dy\\ &=\boxed{\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv}. \end{aligned}

問2

$\phi(-v)=\phi(v)$ より $\Phi(-t)=1-\Phi(t)$ である。 $v=-y$ と置換すると、

\begin{aligned} \int_{-z}^{\infty}\{1-\Phi(\lambda y)\}\phi(y)\,dy &=\int_{-\infty}^z\{1-\Phi(-\lambda v)\}\phi(-v)\,dv\\ &=\boxed{\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv}. \end{aligned}

問3

$Z$ の定義に従って互いに排反な2つの事象に分ける。第2の事象については

\begin{aligned} \Pr(-Y\le z,X\ge\lambda Y) &=\int_{-z}^{\infty}\phi(y)\left(\int_{\lambda y}^{\infty}\phi(x)\,dx\right)dy\\ &=\int_{-z}^{\infty}\{1-\Phi(\lambda y)\}\phi(y)\,dy. \end{aligned}

よって問1、問2より

\begin{aligned} \Pr(Z\le z) &=\Pr(Y\le z,X<\lambda Y)+\Pr(-Y\le z,X\ge\lambda Y)\\ &=\boxed{\int_{-\infty}^z2\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv}. \end{aligned}

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問1​

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Kai​

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