総合研究大学院大学複合科学研究科統計科学専攻 2016年08月実施数理第3問

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

標準正規分布の密度関数と分布関数を、それぞれ

\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\qquad \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\phi(v)\,dv

とする。 $X,Y$ は独立に標準正規分布に従う確率変数、 $\lambda$ は実数とする。

$\Pr(Y\le z,\ X<\lambda Y)=\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv$ を示せ。
$\int_{-z}^{\infty}\{1-\Phi(\lambda y)\}\phi(y)\,dy=\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv$ を示せ。
次の確率変数 $Z$ の分布関数が $\Pr(Z\le z)=\int_{-\infty}^z2\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv$ となることを示せ。

Z=\begin{cases}Y&(X<\lambda Y),\\-Y&(X\ge\lambda Y).\end{cases}

令 $\phi$ 和 $\Phi$ 分别为标准正态分布的密度函数和分布函数， $X,Y$ 为相互独立的标准正态随机变量， $\lambda\in\mathbb R$ 。

证明 $\Pr(Y\le z,X<\lambda Y)=\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv$ 。
证明 $\int_{-z}^{\infty}[1-\Phi(\lambda y)]\phi(y)\,dy$ 等于第1问右侧积分。
当 $X<\lambda Y$ 时令 $Z=Y$ ，否则令 $Z=-Y$ 。证明其分布函数为 $\Pr(Z\le z)=\int_{-\infty}^z2\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv$ 。

独立性より $(X,Y)$ の同時密度は $\phi(x)\phi(y)$ である。したがって、

\begin{aligned} \Pr(Y\le z,X<\lambda Y) &=\int_{-\infty}^z\phi(y)\left(\int_{-\infty}^{\lambda y}\phi(x)\,dx\right)dy\\ &=\boxed{\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv}. \end{aligned}

$\phi(-v)=\phi(v)$ より $\Phi(-t)=1-\Phi(t)$ である。 $v=-y$ と置換すると、

\begin{aligned} \int_{-z}^{\infty}\{1-\Phi(\lambda y)\}\phi(y)\,dy &=\int_{-\infty}^z\{1-\Phi(-\lambda v)\}\phi(-v)\,dv\\ &=\boxed{\int_{-\infty}^z\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv}. \end{aligned}

$Z$ の定義に従って互いに排反な2つの事象に分ける。第2の事象については

\begin{aligned} \Pr(-Y\le z,X\ge\lambda Y) &=\int_{-z}^{\infty}\phi(y)\left(\int_{\lambda y}^{\infty}\phi(x)\,dx\right)dy\\ &=\int_{-z}^{\infty}\{1-\Phi(\lambda y)\}\phi(y)\,dy. \end{aligned}

よって問1、問2より

\begin{aligned} \Pr(Z\le z) &=\Pr(Y\le z,X<\lambda Y)+\Pr(-Y\le z,X\ge\lambda Y)\\ &=\boxed{\int_{-\infty}^z2\Phi(\lambda v)\phi(v)\,dv}. \end{aligned}