公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2023年8月実施 A日程基礎数学 II

标签：

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

以下の問いに答えよ。（配点 25 点）

問1 $x$ は正の実数とする。

f(x)=x^{\sin x}

を微分せよ。

問2 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ と変数変換し，次の定積分の値を求めよ。

\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\sin x}\,dx

回答以下问题。（25 分）

问1 设 $x$ 为正实数，求函数

f(x)=x^{\sin x}

的导数。

问2 作变量代换 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ ，求以下定积分的值：

\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\sin x}\,dx.

$\log f(x)=\sin x\log x$ を微分すると、

\frac{f'(x)}{f(x)}=\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}.

よって、

\boxed{f'(x)=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right)}.

$t=\tan(x/2)$ により、 $\sin x=2t/(1+t^2)$ 、 $dx=2\,dt/(1+t^2)$ となり、積分区間は $0\le t\le1$ に移る。

\begin{gathered} \int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sin x} =2\int_0^1\frac{dt}{(1+t)^2}\\ =\left[-\frac2{1+t}\right]_0^1\\ =\boxed1. \end{gathered}