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公立はこだて未来大学 システム情報科学研究科 2024年度 A日程 基礎数学 II

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問1 正の実数 xx に対して f(x)=xsin⁡xf(x)=x^{\sin x} を微分せよ。

問2 t=tan⁡(x/2)t=\tan(x/2) と変数変換し、定積分 ∫0π/2dx1+sin⁡x\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sin x} を求めよ。

题目描述​

  1. 对 x>0x>0，求 f(x)=xsin⁡xf(x)=x^{\sin x} 的导数。
  2. 使用代换 t=tan⁡(x/2)t=\tan(x/2) 计算 ∫0π/2(1+sin⁡x)−1 dx\int_0^{\pi/2}(1+\sin x)^{-1}\,dx。

Kai​

問1​

log⁡f(x)=sin⁡xlog⁡x\log f(x)=\sin x\log x を微分すると、

f′(x)f(x)=cos⁡xlog⁡x+sin⁡xx.\frac{f'(x)}{f(x)}=\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}.

よって、

f′(x)=xsin⁡x(cos⁡xlog⁡x+sin⁡xx).\boxed{f'(x)=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right)}.

問2​

t=tan⁡(x/2)t=\tan(x/2) により、sin⁡x=2t/(1+t2)\sin x=2t/(1+t^2)、dx=2 dt/(1+t2)dx=2\,dt/(1+t^2) となり、積分区間は 0≤t≤10\le t\le1 に移る。

∫0π/2dx1+sin⁡x=2∫01dt(1+t)2=[−21+t]01=1.\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sin x} =2\int_0^1\frac{dt}{(1+t)^2} =\left[-\frac2{1+t}\right]_0^1 =\boxed1.

Reference​

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