公立はこだて未来大学 システム情報科学研究科 2024年度 A日程 基礎数学 I

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ を自然数とし、

$$A_n=\begin{pmatrix}1&\dfrac1n\\[2mm]\dfrac1n&1\end{pmatrix}$$

とする。$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n^n$ を求めよ。

Kai

$A_n$ の固有値と対応する正規直交固有ベクトルは

$$1-\frac1n,\ \frac1{\sqrt2}\binom{1}{-1};\qquad 1+\frac1n,\ \frac1{\sqrt2}\binom{1}{1}.$$

よって

$$A_n^n=P \begin{pmatrix} (1-1/n)^n&0\\0&(1+1/n)^n \end{pmatrix}P^{-1},\qquad P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}.$$

したがって

$$\boxed{ \lim_{n\to\infty}A_n^n =\frac12\begin{pmatrix} e+e^{-1}&e-e^{-1}\\ e-e^{-1}&e+e^{-1} \end{pmatrix}}$$

である。

Reference

• 公立はこだて未来大学 過去の大学院入試問題
• 公立はこだて未来大学 2024年度 A日程 公式問題 PDF