公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2022年8月実施 A日程基礎数学 II

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

以下の問いに答えよ。（配点 25 点）

問1 $0$ 以上の整数 $n$ に対し，数列 $\{a_n\}$ を

a_n=\frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}

で定義する。ただし， $0!=1$ とする。 $n$ が大きいとき， $n!$ の漸近評価はスターリングの公式によると，

n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}

であることが知られている。ただし，記号 $\sim$ は左辺と右辺の比が 1 に収束することを示し，上記のスターリングの公式は

\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,e^n}{n^n\sqrt{2\pi n}}=1

を意味する。この事実を用いて，極限

\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}a_n}{4^n}

を求めよ。

問2 広義積分 $\displaystyle\int_{1/2}^1\frac{1}{x\sqrt{1-x}}\,dx$ を求めよ。

回答以下问题。（25 分）

问1 对非负整数 $n$ ，定义数列 $\{a_n\}$ ：

a_n=\frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!},

其中 $0!=1$ 。当 $n$ 很大时，由斯特林公式可知 $n!$ 的渐近估计为

n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}.

记号 $\sim$ 表示左边与右边之比趋于 1，因此上式意味着

\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,e^n}{n^n\sqrt{2\pi n}}=1.

利用这一事实，求极限

\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}a_n}{4^n}.

问2 求广义积分 $\displaystyle\int_{1/2}^1\frac{1}{x\sqrt{1-x}}\,dx$ 。

$a_n=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$ と書き、Stirling の公式を適用すると、

\binom{2n}{n} \sim\frac{(2n/e)^{2n}\sqrt{4\pi n}}{(n/e)^{2n}2\pi n} =\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.

したがって、

\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}a_n}{4^n} =\frac1{\sqrt\pi}\lim_{n\to\infty}\frac n{n+1} =\frac1{\sqrt\pi}}.

$t=\sqrt{1-x}$ とおくと、 $x=1-t^2$ 、 $dx=-2t\,dt$ より、

\begin{aligned} \int_{1/2}^1\frac{dx}{x\sqrt{1-x}} &=\int_0^{1/\sqrt2}\frac2{1-t^2}\,dt\\ &=\left[\log\frac{1+t}{1-t}\right]_0^{1/\sqrt2}\\ &=\boxed{\log(3+2\sqrt2)}. \end{aligned}