公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2022年8月実施 A日程基礎数学 II

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

問1 $0$ 以上の整数 $n$ に対して $a_n=(2n)!/((n+1)!n!)$ と定める。ただし $0!=1$ とする。Stirling の公式

n!\sim\left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}

を用いて $\lim_{n\to\infty}n^{3/2}a_n/4^n$ を求めよ。記号 $\sim$ は両辺の比が $1$ に収束することを示す。

問2 広義積分 $\int_{1/2}^1\frac{dx}{x\sqrt{1-x}}$ を求めよ。

对非负整数 $n$ 定义 $a_n=(2n)!/((n+1)!n!)$ ，其中 $0!=1$ 。利用上述 Stirling 公式，计算 $\lim_{n\to\infty}n^{3/2}a_n/4^n$ 。
计算广义积分 $\int_{1/2}^1[x\sqrt{1-x}]^{-1}\,dx$ 。

$a_n=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$ と書き、Stirling の公式を適用すると、

\binom{2n}{n} \sim\frac{(2n/e)^{2n}\sqrt{4\pi n}}{(n/e)^{2n}2\pi n} =\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.

したがって、

\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}a_n}{4^n} =\frac1{\sqrt\pi}\lim_{n\to\infty}\frac n{n+1} =\frac1{\sqrt\pi}}.

$t=\sqrt{1-x}$ とおくと、 $x=1-t^2$ 、 $dx=-2t\,dt$ より、

\begin{aligned} \int_{1/2}^1\frac{dx}{x\sqrt{1-x}} &=\int_0^{1/\sqrt2}\frac2{1-t^2}\,dt\\ &=\left[\log\frac{1+t}{1-t}\right]_0^{1/\sqrt2}\\ &=\boxed{\log(3+2\sqrt2)}. \end{aligned}