公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2022年8月実施 A日程基礎数学 I

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

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$\mathbb{R}^4$ の部分空間 $V,W$ を以下のように定める。

V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4\ \middle|\ \begin{aligned}x+2y+z+3w&=0\\x+3y+2z&=0\end{aligned}\right\}

W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4\ \middle|\ \begin{aligned}2x+y-z-4w&=0\\x+y-3w&=0\end{aligned}\right\}

このとき， $V,W,V+W$ ，および $V\cap W$ の基底をそれぞれ求めよ。（配点 25 点）

题目描述

如下定义 $\mathbb{R}^4$ 的子空间 $V,W$ ：

V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4\ \middle|\ \begin{aligned}x+2y+z+3w&=0\\x+3y+2z&=0\end{aligned}\right\}

W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4\ \middle|\ \begin{aligned}2x+y-z-4w&=0\\x+y-3w&=0\end{aligned}\right\}.

分别求 $V,W,V+W$ 及 $V\cap W$ 的一组基。（25 分）

Kai

$V$ と $W$

各連立方程式を解くと、次の基底を得る。

\begin{gathered} \boxed{\mathcal B_V=\{v_1,v_2\}},\\ v_1=\begin{pmatrix}-9\\3\\0\\1\end{pmatrix},\\ v_2=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\\1\end{pmatrix}, \end{gathered}

\begin{gathered} \boxed{\mathcal B_W=\{w_1,w_2\}},\\ w_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\0\end{pmatrix},\\ w_2=\begin{pmatrix}3\\0\\2\\1\end{pmatrix}. \end{gathered}

例えば $V$ の一般元は $\frac y3v_1+\frac z3v_2$ 、 $W$ の一般元は $yw_1+ww_2$ と表される。

$V+W$

$v_1=3w_1+v_2$ であるから $V+W=\operatorname{span}\{w_1,w_2,v_2\}$ 。この三ベクトルは一次独立である。実際、 $\alpha w_1+\beta w_2+\gamma v_2=0$ の第2・第4・第1成分から順に $\alpha=0$ 、 $\beta=-\gamma$ 、 $-9\gamma=0$ を得る。よって、

\boxed{\mathcal B_{V+W}=\{w_1,w_2,v_2\}}.

$V\cap W$

\begin{gathered} \dim(V\cap W)=\dim V+\dim W-\dim(V+W)\\ =2+2-3\\ =1. \end{gathered}

$w_1=(v_1-v_2)/3\in V\cap W$ は非零だから、

\boxed{\mathcal B_{V\cap W}=\{w_1\}}.

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题目描述​

Kai​

VVV と WWW​

V+WV+WV+W​

V∩WV\cap WV∩W​

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