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公立はこだて未来大学 システム情報科学研究科 2022年8月実施 A日程 基礎数学 I

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

R4\mathbb R^4 の部分空間 V,WV,W を次のように定める。

V={(x,y,z,w)T∈R4∣x+2y+z+3w=0, x+3y+2z=0},W={(x,y,z,w)T∈R4∣2x+y−z−4w=0, x+y−3w=0}.\begin{aligned} V&=\{(x,y,z,w)^{\mathsf T}\in\mathbb R^4\mid x+2y+z+3w=0,\ x+3y+2z=0\},\\ W&=\{(x,y,z,w)^{\mathsf T}\in\mathbb R^4\mid2x+y-z-4w=0,\ x+y-3w=0\}. \end{aligned}

V,W,V+W,V∩WV,W,V+W,V\cap W の基底をそれぞれ求めよ。

题目描述​

在 R4\mathbb R^4 中，子空间 VV 与 WW 分别由上述两组齐次线性方程定义。分别求 VV、WW、和空间 V+WV+W 以及交空间 V∩WV\cap W 的一组基。

Kai​

VV と WW​

各連立方程式を解くと、次の基底を得る。

BV={v1,v2},v1=(−9301),v2=(−6031),\boxed{\mathcal B_V=\{v_1,v_2\}},\qquad v_1=\begin{pmatrix}-9\\3\\0\\1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\\1\end{pmatrix},
BW={w1,w2},w1=(−11−10),w2=(3021).\boxed{\mathcal B_W=\{w_1,w_2\}},\qquad w_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\0\end{pmatrix},\quad w_2=\begin{pmatrix}3\\0\\2\\1\end{pmatrix}.

例えば VV の一般元は y3v1+z3v2\frac y3v_1+\frac z3v_2、WW の一般元は yw1+ww2yw_1+ww_2 と表される。

V+WV+W​

v1=3w1+v2v_1=3w_1+v_2 であるから V+W=span⁡{w1,w2,v2}V+W=\operatorname{span}\{w_1,w_2,v_2\}。この三ベクトルは一次独立である。実際、αw1+βw2+γv2=0\alpha w_1+\beta w_2+\gamma v_2=0 の第2・第4・第1成分から順に α=0\alpha=0、β=−γ\beta=-\gamma、−9γ=0-9\gamma=0 を得る。よって、

BV+W={w1,w2,v2}.\boxed{\mathcal B_{V+W}=\{w_1,w_2,v_2\}}.

V∩WV\cap W​

dim⁡(V∩W)=dim⁡V+dim⁡W−dim⁡(V+W)=2+2−3=1.\dim(V\cap W)=\dim V+\dim W-\dim(V+W)=2+2-3=1.

w1=(v1−v2)/3∈V∩Ww_1=(v_1-v_2)/3\in V\cap W は非零だから、

BV∩W={w1}.\boxed{\mathcal B_{V\cap W}=\{w_1\}}.

Reference​

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