公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2021年8月実施 A日程基礎数学 II

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

以下の問いに答えよ。（配点 25 点）

問1 $f(x)=\sin x$ ， $g(x)=e^{-2x}$ とする。以下の式をみたす 8 つの定数 $a_i$ および $b_i$ （ $i=0,1,2,3$ ）をすべて求めよ。

\begin{aligned} f(x)&=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+o(x^3)\quad(x\to0),\\ g(x)&=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+o(x^3)\quad(x\to0). \end{aligned}

ただし，記号 $o$ はランダウのスモールオーである。さらに，その結果を用いて極限

\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2\sin x}+\frac{1}{e^{-2x}-1}\right)

を求めよ。

問2 $a$ は実数とする。広義積分 $\displaystyle\int_0^1x^a\log x\,dx$ が収束するような $a$ の値の範囲を求め，そのときの広義積分の値を $a$ を用いて表せ。

回答以下问题。（25 分）

问1 设 $f(x)=\sin x$ 、 $g(x)=e^{-2x}$ 。求满足下式的全部八个常数 $a_i$ 、 $b_i$ （ $i=0,1,2,3$ ）：

\begin{aligned} f(x)&=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+o(x^3)\quad(x\to0),\\ g(x)&=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+o(x^3)\quad(x\to0). \end{aligned}

其中 $o$ 为兰道小 $o$ 记号。再利用所得结果求极限

\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2\sin x}+\frac{1}{e^{-2x}-1}\right).

问2 设 $a$ 为实数。求使广义积分 $\displaystyle\int_0^1x^a\log x\,dx$ 收敛的 $a$ 的取值范围，并用 $a$ 表示此时的积分值。

Taylor 展開により、

\begin{gathered} \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\\ e^{-2x}=1-2x+2x^2-\frac43x^3+o(x^3). \end{gathered}

よって、

\boxed{\begin{gathered} (a_0,a_1,a_2,a_3)=(0,1,0,-1/6),\\ (b_0,b_1,b_2,b_3)=(1,-2,2,-4/3) \end{gathered}}.

さらに

\begin{gathered} \frac1{2\sin x}=\frac1{2x}+O(x),\\ \frac1{e^{-2x}-1}=-\frac1{2x}-\frac12+O(x) \end{gathered}

より、求める極限は $\boxed{-1/2}$ 。

$a\ne-1$ のとき、

\int x^a\log x\,dx =x^{a+1}\left(\frac{\log x}{a+1}-\frac1{(a+1)^2}\right)+C.

$x\to0+$ で下端の項が $0$ となるのは $a>-1$ のときである。 $a=-1$ では原始関数が $(\log x)^2/2$ となり、 $a<-1$ の場合も積分は $-\infty$ に発散する。したがって、

\boxed{\begin{gathered} a>-1,\\ \int_0^1x^a\log x\,dx=-\frac1{(a+1)^2} \end{gathered}}.