公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2021年8月実施 A日程基礎数学 I

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

実数 $a$ と行列

A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&0&-1\\a&-1&-1\end{pmatrix}

に対し、線形写像 $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ を $f(x)=Ax$ により定める。

设 $a$ 为实数，矩阵 $A$ 如上，并定义线性映射 $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ 、 $f(x)=Ax$ 。求 $A$ 的秩、 $f$ 的核，以及 $f$ 的像的一组基。

\det A=-2a.

$a=0$ のとき、左上の $2\times2$ 小行列式は $-1\ne0$ である。したがって、

\boxed{\operatorname{rank}A=\begin{cases}3&(a\ne0),\\2&(a=0).\end{cases}}

$a\ne0$ なら $A$ は正則である。 $a=0$ なら $Ax=0$ は $x_1+x_2=0$ 、 $x_1-x_3=0$ に帰着するので、

\boxed{\operatorname{Ker}(f)=\begin{cases} \{0\}&(a\ne0),\\ \operatorname{span}\{(1,-1,1)^{\mathsf T}\}&(a=0). \end{cases}}

$a\ne0$ なら $\operatorname{Im}(f)=\mathbb R^3$ であり、 $A$ の三つの列は基底をなす。 $a=0$ なら最初の二列が一次独立で像を張る。求める基底の一例は

\boxed{\begin{cases} \{(1,1,a)^{\mathsf T},\ (1,0,-1)^{\mathsf T},\ (a,-1,-1)^{\mathsf T}\}&(a\ne0),\\ \{(1,1,0)^{\mathsf T},\ (1,0,-1)^{\mathsf T}\}&(a=0). \end{cases}}