公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2021年8月実施 A日程基礎数学 I

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

行列

A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&0&-1\\a&-1&-1\end{pmatrix}

に対し，線形写像 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ を $f(x)=Ax$ （ $x\in\mathbb{R}^3$ ）により定める。ただし， $a$ は実数とする。以下の問いに答えよ。（配点 25 点）

問1 行列 $A$ の階数を求めよ。

問2 線形写像 $f$ の核 $\operatorname{Ker}(f)$ を求めよ。

問3 線形写像 $f$ の像 $\operatorname{Im}(f)$ の基底を求めよ。

对于矩阵

A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&0&-1\\a&-1&-1\end{pmatrix},

用 $f(x)=Ax$ （ $x\in\mathbb{R}^3$ ）定义线性映射 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ，其中 $a$ 为实数。回答以下问题。（25 分）

问1 求矩阵 $A$ 的秩。

问2 求线性映射 $f$ 的核 $\operatorname{Ker}(f)$ 。

问3 求线性映射 $f$ 的像 $\operatorname{Im}(f)$ 的一组基。

\det A=-2a.

$a=0$ のとき、左上の $2\times2$ 小行列式は $-1\ne0$ である。したがって、

\boxed{\operatorname{rank}A=\begin{cases}3&(a\ne0),\\2&(a=0).\end{cases}}

$a\ne0$ なら $A$ は正則である。 $a=0$ なら $Ax=0$ は $x_1+x_2=0$ 、 $x_1-x_3=0$ に帰着するので、

\boxed{\operatorname{Ker}(f)=\begin{cases} \{0\}&(a\ne0),\\ \operatorname{span}\{(1,-1,1)^{\mathsf T}\}&(a=0). \end{cases}}

$a\ne0$ なら $\operatorname{Im}(f)=\mathbb R^3$ であり、 $A$ の三つの列は基底をなす。 $a=0$ なら最初の二列が一次独立で像を張る。求める基底の一例は

\boxed{\begin{cases} \{(1,1,a)^{\mathsf T},\ (1,0,-1)^{\mathsf T},\ (a,-1,-1)^{\mathsf T}\}&(a\ne0),\\ \{(1,1,0)^{\mathsf T},\ (1,0,-1)^{\mathsf T}\}&(a=0). \end{cases}}