公立はこだて未来大学システム情報科学研究科 2022年度 A日程基礎数学 II

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

問1 $f(x)=\sin x$ 、 $g(x)=e^{-2x}$ とする。次を満たす八つの定数 $a_i,b_i$ （ $i=0,1,2,3$ ）をすべて求めよ。

\begin{aligned} f(x)&=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+o(x^3),\\ g(x)&=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+o(x^3)\qquad(x\to0). \end{aligned}

$o$ は Landau のスモールオーである。その結果を用いて、次の極限を求めよ。

\lim_{x\to0}\left(\frac1{2\sin x}+\frac1{e^{-2x}-1}\right).

問2 実数 $a$ に対して広義積分 $\int_0^1 x^a\log x\,dx$ が収束する $a$ の範囲を求め、そのときの積分値を $a$ を用いて表せ。

求 $\sin x$ 和 $e^{-2x}$ 在 $x=0$ 处至三次项、余项为 $o(x^3)$ 的展开系数 $a_0,\ldots,a_3,b_0,\ldots,b_3$ ，并据此计算上述两个分式之和的极限。
求使 $\int_0^1x^a\log x\,dx$ 收敛的实数 $a$ 的范围及积分值。

Taylor 展開により、

\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad e^{-2x}=1-2x+2x^2-\frac43x^3+o(x^3).

よって、

\boxed{(a_0,a_1,a_2,a_3)=(0,1,0,-1/6),\quad (b_0,b_1,b_2,b_3)=(1,-2,2,-4/3)}.

さらに

\frac1{2\sin x}=\frac1{2x}+O(x),\qquad \frac1{e^{-2x}-1}=-\frac1{2x}-\frac12+O(x)

より、求める極限は $\boxed{-1/2}$ 。

$a\ne-1$ のとき、

\int x^a\log x\,dx =x^{a+1}\left(\frac{\log x}{a+1}-\frac1{(a+1)^2}\right)+C.

$x\to0+$ で下端の項が $0$ となるのは $a>-1$ のときである。 $a=-1$ では原始関数が $(\log x)^2/2$ となり、 $a<-1$ の場合も積分は $-\infty$ に発散する。したがって、

\boxed{a>-1,\qquad\int_0^1x^a\log x\,dx=-\frac1{(a+1)^2}}.