愛媛大学 理工学研究科 地球進化学コース 2023年度 5

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• X射线衍射

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

図1のように格子面間隔 $d$ の単結晶に波長 $\lambda$ の単色 X 線が格子面と角度 $\theta$ をなして入射する。反射線と格子面の角度も $\theta$ とする。$n$ は自然数である。文章中の (ア)～(エ) に適切な数式または語句を入れよ。

1番目と2番目の格子面で反射する X 線の経路差 $l_1+l_2$ は (ア) である。(ア) が $\lambda$ の整数倍なら、反射 X 線の合成波の振幅は最も (イ) くなる。1番目と $n$ 番目の格子面で反射する場合、経路差は (ア) の (ウ) 倍になる。この値が波長の整数倍でも合成波の振幅は最も (イ) くなる。これを一般化した式 (ア) $=$ (エ) は Bragg の式と呼ばれる。

問2

常温常圧下で、ガラス製キャピラリーに封入した粉末セリア $\mathrm{CeO_2}$ に単色 X 線を照射し、図2の二次元回折パターンを得る。試料と検出器が十分離れている場合、図2左の幾何学関係が成り立つものとする。

① カメラ長 $L=620\,\mathrm{mm}$、波長 $\lambda=0.02\,\mathrm{nm}$ のとき、$(111)$ 面の回折円半径が $R_{111}=40\,\mathrm{mm}$ であった。格子面間隔 $d$ を $\mathrm{\mathring A}$ 単位で小数第1位まで求め、計算過程を示せ。

② セリアは立方晶系であり、格子定数 $a$ と面間隔 $d_{hkl}$ の関係は

$$\frac1{d_{hkl}^2}=\frac{h^2+k^2+l^2}{a^2}$$

である。①の条件から $a$ を $\mathrm{\mathring A}$ 単位で小数第2位まで求め、小数第3位を四捨五入せよ。計算過程を示せ。

③ 斜方晶系フォルステライト $\mathrm{Mg_2SiO_4}$ は三つの格子定数 $a,b,c$ を持つ。室温・未知の高圧下で、①と同じ波長・検出器を用いたが、カメラ長を $620\,\mathrm{mm}$ よりかなり長くしたため $(021)$、$(101)$ の二つの回折パターンしか得られなかった。これでは $a,b,c$ をすべて決定できない理由を具体的に答えよ。

④ ③の測定条件をどのように改良すれば $a,b,c$ をすべて決定できるか、一案を述べよ。

题目描述

第1问：晶面间距为 $d$，X 射线波长为 $\lambda$，入射和反射方向与晶面的夹角均为 $\theta$。依图1补全：相邻晶面反射波的光程差 (ア)、满足整倍波长条件时振幅最 (イ)、第1和第 $n$ 层晶面的光程差倍数 (ウ)，以及 Bragg 方程右侧的 (エ)。

第2问：常温常压下以单色 X 射线照射毛细管中的粉末氧化铈，按图2给定的远距离几何关系处理。

1. 相机长度 $L=620\,\mathrm{mm}$，波长 $0.02\,\mathrm{nm}$，$(111)$ 衍射环半径 $40\,\mathrm{mm}$。求晶面间距，单位为 Å、保留一位小数，并写出过程。
2. 氧化铈为立方晶系，满足 $d_{hkl}^{-2}=(h^2+k^2+l^2)/a^2$。求晶格常数 $a$，单位为 Å、保留两位小数，并写出过程。
3. 对室温、未知高压下的斜方晶系镁橄榄石 $\mathrm{Mg_2SiO_4}$，使用相同波长和探测器，但显著加长相机长度，仅测得 $(021)$ 与 $(101)$ 衍射环。具体解释为何不能求出全部三个晶格常数 $a,b,c$。
4. 提出一种能确定全部三个晶格常数的测量改进方案。

Kai

問1

$l_1=l_2=d\sin\theta$ である。位相差が $2\pi$ の整数倍なら強め合うので、

$$\boxed{(\text{ア})=2d\sin\theta,\quad(\text{イ})=\text{大き},\quad(\text{ウ})=n-1}.$$

Bragg の条件は

$$\boxed{2d\sin\theta=m\lambda\quad(m=1,2,\ldots)}$$

である。よって $\boxed{(\text{エ})=m\lambda}$。ここで回折次数を表す $m$ は、格子面番号の $n$ と区別して用いた。

問2

①

図2の遠距離近似の三角形から、

$$\frac RL=\frac{1/d}{1/\lambda}=\frac\lambda d.$$

$\lambda=0.02\,\mathrm{nm}=0.2\,\mathrm{\mathring A}$ なので、

$$\boxed{d=\frac{\lambda L}{R}=\frac{0.2\times620}{40}=3.1\,\mathrm{\mathring A}}.$$

②

$(h,k,l)=(1,1,1)$ より、

$$\boxed{a=\sqrt3\,d=\sqrt3\times3.1\simeq5.37\,\mathrm{\mathring A}}.$$

③

斜方晶系では

$$\frac1{d_{hkl}^2}=\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}+\frac{l^2}{c^2}.$$

したがって二つの反射から得るのは

$$\frac1{d_{021}^2}=\frac4{b^2}+\frac1{c^2},\qquad \frac1{d_{101}^2}=\frac1{a^2}+\frac1{c^2}$$

だけである。未知数 $a^{-2},b^{-2},c^{-2}$ が三つなのに独立な式は二つしかなく、一意に決まらない。圧力も未知なので、その圧力における格子定数を外部の値で固定することもできない。

④

カメラ長を短くして検出可能な散乱角範囲を広げ、既存の二反射と独立な指数を持つ第三の反射を測定する。例えば $(002)$ が得られれば、

$$\frac1{d_{002}^2}=\frac4{c^2}$$

から $c$ が決まり、上の二式から $a,b$ も決まる。

Reference

• 大学公式問題（PDF 6–7ページ）
• Miyake：対応する解答