中央大学 理工学研究科 情報工学専攻 2025年8月実施 一般入試 問題V

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• 命题逻辑

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祭音Myyura (Based on 中央大学の公式解答例 refined with GPT 6 Astra)

Description

問題Iは必答。問題II〜Vのうち、2問を選んで解答すること。

問題V

多値の論理値をとる何らかの原子論理式（atomic formulas）の集合および否定（negation）$\lnot$，論理積（conjunction）$\land$，論理和（disjunction）$\lor$ の三演算から成るブール論理系において，あるものが白馬（white horse）であるときそれは馬であることを，構文論的に（syntactically），すなわち根拠を添えつつ論理式を逐次に書き換える様式にて示せ。その際に，否定と選言から定義される含意（implication）$\to$ および論理的含意（logical implication）$\Rightarrow$ を用いてもよい。

题目描述

问题 I 必答。从问题 II～V 中选择两题作答。

问题 V

考虑一个布尔逻辑系统，它由一组取多值逻辑值的原子公式，以及否定 $\lnot$、合取（逻辑与）$\land$、析取（逻辑或）$\lor$ 三种运算组成。请从语法层面证明“某物是白马时，它就是马”，即附上依据，逐步改写逻辑公式。可以使用由否定与析取定义的蕴含 $\to$，以及逻辑蕴含 $\Rightarrow$。

Kai

任意に固定した対象について、原子論理式 $h,w,p$ をそれぞれ「その対象は馬である」「その対象は白色である」「その対象は白馬である」とする。「白馬」の意味を

$$p\ \Leftrightarrow\ h\land w$$

で表す。ここで $\Leftrightarrow$ は論理的同値を表す。

論理積について、次のように根拠を添えて書き換えられる。

$$\begin{aligned} p\land h &\Leftrightarrow(h\land w)\land h &&\text{（白馬の定義）}\\ &\Leftrightarrow(h\land h)\land w &&\text{（結合律・交換律）}\\ &\Leftrightarrow h\land w &&\text{（冪等律）}\\ &\Leftrightarrow p &&\text{（白馬の定義）}. \end{aligned}$$

従って、ブール代数の順序を $a\le b\iff a\land b=a$ で定めると、$p\le h$。これは $p$ から $h$ が従うこと、すなわち

$$\boxed{p\Rightarrow h}$$

を意味する。

含意 $a\to b:=\lnot a\lor b$ を使って同じことを確かめる場合、最大元を $\top$ と記すと

$$\begin{aligned} p\to h &\Leftrightarrow\lnot p\lor h &&\text{（含意の定義）}\\ &\Leftrightarrow\lnot(h\land w)\lor h &&\text{（白馬の定義）}\\ &\Leftrightarrow(\lnot h\lor\lnot w)\lor h &&\text{（ド・モルガンの法則）}\\ &\Leftrightarrow(\lnot h\lor h)\lor\lnot w &&\text{（結合律・交換律）}\\ &\Leftrightarrow\top\lor\lnot w &&\text{（補元律）}\\ &\Leftrightarrow\top &&\text{（最大元の性質）}. \end{aligned}$$

ここでは論理値を二値に限定した真理値表を用いず、問題文のブール論理系の代数法則だけを用いている。特に $p,h,w$ を意味的に無関係な原子式として扱うのではなく、白馬を「馬であり、かつ白いもの」とする関係が推論の前提である。

Reference

• 中央大学公式問題：2026年度 情報工学専攻、冊内 pp.3,8（PDF 第4,9頁）
• 中央大学公式解答例・出題の意図：問題V、冊内 p.9（PDF 第10頁）