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中央大学 理工学研究科 情報工学専攻 2025年2月実施 一般入試（春季）問題IV

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

問題 I は必答。問題 II～V のうち、2 問を選んで解答すること。

問題 IV

PP を平面上の点集合とする。ただし、PP は三つ以上の点を含み、PP の任意の 3 点は同一直線上にないものとする。三角形の集合 {t1,t2,…,tl}\{t_1,t_2,\ldots,t_l\}（ll は三角形の個数）は、以下の条件を全て満たすとき PP の三角形分割と呼ばれる。

  • 各三角形は PP の相異なる 3 点を頂点とする。
  • PP の各点は、少なくとも一つの三角形の頂点として使用される。
  • 任意の二つの三角形 ti,tjt_i,t_j について (i≠j)(i\ne j)、tit_i の内部と tjt_j の内部は交差しない。
  • 全ての三角形（内部だけでなく境界も含む）t1,t2,…,tlt_1,t_2,\ldots,t_l の和集合は PP の凸包と一致する。

また、三角形分割を構成する各三角形を面と呼ぶ。点集合の三角形分割について、以下の設問に答えよ。

  1. QQ を 6 点からなる点集合とする。QQ の各点の座標は

    (0,0), (6,0), (3,2),(2,6), (0,8), (4,8)\begin{gathered} (0,0),\ (6,0),\ (3,2),\\ (2,6),\ (0,8),\ (4,8) \end{gathered}

    である。QQ の三角形分割を全て求め、図示せよ。答のみ書けばよい。

  2. RR を nn 個の点からなる点集合とする。ただし、n≥3n\geq3 とし、RR の任意の 3 点は同一直線上にないものとする。また、RR の凸包は kk 角形だとする。TT を RR の任意の三角形分割とする。TT の面数を nn と kk を用いて表せ。結果だけでなく、導出過程も記述すること。

  3. 三角形 abcabc の三つの頂点の座標をそれぞれ (xa,ya),(xb,yb),(xc,yc)(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c) とする。3 頂点 a,b,ca,b,c は反時計回りに並んでおり、同一直線上にないものとする。また、関数 ff を以下のように定める。

    f(x,y)=det⁡(xxaxbxcyyaybycx2+y2xa2+ya2xb2+yb2xc2+yc21111)f(x,y)=\det\begin{pmatrix} x&x_a&x_b&x_c\\ y&y_a&y_b&y_c\\ x^2+y^2&x_a^2+y_a^2&x_b^2+y_b^2&x_c^2+y_c^2\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix}

    なお、det⁡A\det A は行列 AA の行列式を表す。f(x,y)=0f(x,y)=0 を満たす点 (x,y)(x,y) の集合はどのような図形になるか答えよ。さらに、f(x,y)<0f(x,y)<0 を満たす点 (x,y)(x,y) の集合はどのような図形になるか答えよ。それぞれ、結果だけでなく根拠も示すこと。

  4. 設問 1 の QQ の三角形分割のうち、三角形の内接円の半径の和（三角形分割に ll 個の面が含まれる場合、ll 個の内接円の半径の和）が最も大きいものを図示せよ。答えのみ書けばよい。内接円の半径の和の値を書く必要はなく、三角形分割を図示するだけでよい。

题目描述​

问题 I 为必答题；从问题 II～V 中选择 2 题作答。

问题 IV

设 PP 是平面点集，至少包含三个点，且任意三点不共线。当三角形集合 {t1,t2,…,tl}\{t_1,t_2,\ldots,t_l\}（ll 为三角形数量）满足以下全部条件时，称其为 PP 的三角剖分：

  • 每个三角形的顶点均为 PP 中三个互异的点。
  • PP 的每个点至少作为一个三角形的顶点出现。
  • 对任意 i≠ji\ne j，三角形 ti,tjt_i,t_j 的内部不相交。
  • 所有三角形（包含内部及边界）的并集恰为 PP 的凸包。

构成剖分的各个三角形称为面。回答以下问题。

  1. 点集 QQ 包含六个点，坐标分别为

    (0,0), (6,0), (3,2),(2,6), (0,8), (4,8).\begin{gathered} (0,0),\ (6,0),\ (3,2),\\ (2,6),\ (0,8),\ (4,8) \end{gathered}.

    求出 QQ 的全部三角剖分并画图，只需给出答案。

  2. 点集 RR 包含 n≥3n\geq3 个点，任意三点不共线，其凸包为 kk 边形。设 TT 是 RR 的任意三角剖分。用 n,kn,k 表示 TT 的面数，并写出推导过程。

  3. 三角形 abcabc 的顶点依次为 (xa,ya),(xb,yb),(xc,yc)(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c)，三点按逆时针排列且不共线。定义

    f(x,y)=det⁡(xxaxbxcyyaybycx2+y2xa2+ya2xb2+yb2xc2+yc21111).f(x,y)=\det\begin{pmatrix} x&x_a&x_b&x_c\\ y&y_a&y_b&y_c\\ x^2+y^2&x_a^2+y_a^2&x_b^2+y_b^2&x_c^2+y_c^2\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix}.

    其中 det⁡A\det A 表示矩阵 AA 的行列式。说明满足 f(x,y)=0f(x,y)=0 的点集是什么图形，并说明满足 f(x,y)<0f(x,y)<0 的点集是什么图形。两问均须给出依据。

  4. 在第 1 问的全部三角剖分中，画出所有三角形内切圆半径之和最大的一种。若剖分包含 ll 个面，则计算的是 ll 个内切圆半径的总和。只需画出剖分，无须写出半径和的数值。

Kai​

1. 全ての三角形分割​

与えられた順に

A=(0,0), B=(6,0), C=(3,2),D=(2,6), E=(0,8), F=(4,8)\begin{gathered} A=(0,0),\ B=(6,0),\ C=(3,2),\\ D=(2,6),\ E=(0,8),\ F=(4,8) \end{gathered}

と名付ける。凸包は四角形 ABFEABFE で、C,DC,D はその内部にある。三角形分割は次の 6 通りである。図は全て同じ座標・縮尺で描いている。

三角形分割T1（作図：祭音Myyura）

三角形分割T2（作図：祭音Myyura）

三角形分割T3（作図：祭音Myyura）

三角形分割T4（作図：祭音Myyura）

三角形分割T5（作図：祭音Myyura）

三角形分割T6（作図：祭音Myyura）

2. 面数​

辺数を ee、三角形の面数を ff とする。外側の面も数えたオイラーの公式から、

n−e+(f+1)=2,e=n+f−1.n-e+(f+1)=2,\qquad e=n+f-1.

各三角形の辺を数えると、内部の辺は 2 回、凸包上の kk 辺は 1 回ずつ数えられるので、

3f=2(e−k)+k=2e−k.3f=2(e-k)+k=2e-k.

代入して 3f=2n+2f−2−k3f=2n+2f-2-k となり、

f=2n−k−2.\boxed{f=2n-k-2}.

設問 1 では n=6,k=4n=6,k=4 より、どの分割も 6 面を持つ。

3. 行列式で表される図形​

D=det⁡(xaxbxcyaybyc111)D=\det\begin{pmatrix}x_a&x_b&x_c\\y_a&y_b&y_c\\1&1&1\end{pmatrix}

とおく。a,b,ca,b,c が反時計回りなので DD は三角形の面積の 2 倍であり、D>0D>0。

ff を第 1 列で展開すると、x2+y2x^2+y^2 の係数は DD で、残りは x,yx,y の一次式と定数になる。また (x,y)(x,y) が a,b,ca,b,c のいずれかなら 2 列が一致し、f=0f=0。従って、外心を (u,v)(u,v)、外接円の半径を rr とすれば、

f(x,y)=D((x−u)2+(y−v)2−r2).f(x,y)=D\bigl((x-u)^2+(y-v)^2-r^2\bigr).

三つの非共線点を通る円は一意に定まり、D>0D>0 だから、

f(x,y)=0\boxed{f(x,y)=0} を満たす点の集合は △abc\triangle abc の外接円である。

f(x,y)<0\boxed{f(x,y)<0} を満たす点の集合は、その外接円の内部（円周を含まない）である。

4. 内接円の半径の和が最大の分割​

求める分割は T3\boxed{T_3} である。

内接円半径和が最大の分割T3（作図：祭音Myyura）

その 6 面は ABC,ACD,ADE,BCF,CDF,DEFABC,ACD,ADE,BCF,CDF,DEF である。確認には、各三角形の面積を SS、半周長を ss として内接円半径 r=S/sr=S/s を用いればよい。T1,…,T6T_1,\ldots,T_6 の半径和は順に約 5.08547、5.42885、5.54812、4.93133、5.24959、5.36887 となる。

Reference​

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