中央大学 理工学研究科 情報工学専攻 2024年8月実施 問題I

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• 中央大学
• 二阶线性常微分方程
• 恰当微分方程
• 高斯积分
• 友矩阵

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題 I は必答。問題 II～V のうち，2 問を選んで解答すること。

問題 I．（全員解答すること）

1. 1 変数の実変数実数値関数 $y(x)$ に関する次の微分方程式を解け。

   (1) $y''-4y'+4y=0$ の一般解を求めよ。

   (2) 次の微分方程式が完全微分形であることを示し，一般解を求めよ。

   $$\left(\frac1x-\frac1y\right)\,dx+\frac{x-1}{y^2}\,dy=0$$

2. 次の積分を計算せよ。$a$ は正の実数，$f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$ とする。

   (1) 2 次元平面内の領域 $D_a=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid0\le x^2+y^2\le a^2,\ x\ge0,\ y\ge0\}$ を考える。$\displaystyle\iint_{D_a}f(x,y)\,dx\,dy$ を求めよ。

   (2) 2 次元平面内の領域 $S_a=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid0\le x\le a,\ 0\le y\le a\}$ を考える。$D_a,S_a,D_{\sqrt2a}$ を図示し，

   $$\begin{aligned} &\iint_{D_a}f(x,y)\,dx\,dy\\ &\quad\le\iint_{S_a}f(x,y)\,dx\,dy\\ &\quad\le\iint_{D_{\sqrt2a}}f(x,y)\,dx\,dy \end{aligned}$$

   を示せ。

   (3) $\displaystyle I=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$ を求めよ。

3. $n\ge3$ とし，次の $n$ 次正方行列 $A_n$ を考える。

   $$A_n=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&0&1\\ -a_n&-a_{n-1}&\cdots&-a_2&-a_1 \end{pmatrix}$$

   例えば，$n=3$ の場合は次のようになる。

   $$A_3=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_3&-a_2&-a_1\end{pmatrix}$$

   次の問いに答えよ。

   (1) $n=3$ の場合の $A_3$ の固有多項式（特性多項式ともいう）$\Phi_3(x)$ を求めよ。

   (2) 一般の $n$ の場合の $A_n$ の固有多項式 $\Phi_n(x)$ を求めよ。

   (3) 固有値 $c$ に対応する $A_n$ の固有ベクトルを求めよ。

题目描述

问题 I 必答；问题 II～V 中选答 2 题。本问题所有考生均须作答。

1. 求解关于一元实变量实值函数 $y(x)$ 的下列微分方程。

   (1) 求 $y''-4y'+4y=0$ 的通解。

   (2) 证明下列方程是恰当微分方程，并求其通解。

   $$\left(\frac1x-\frac1y\right)\,dx+\frac{x-1}{y^2}\,dy=0.$$

2. 计算以下积分。设 $a$ 为正实数，$f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$。

   (1) 考虑平面区域 $D_a=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid0\le x^2+y^2\le a^2,\ x\ge0,\ y\ge0\}$。求 $\displaystyle\iint_{D_a}f(x,y)\,dx\,dy$。

   (2) 考虑平面区域 $S_a=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid0\le x\le a,\ 0\le y\le a\}$。画出 $D_a,S_a,D_{\sqrt2a}$，并证明

   $$\begin{aligned} &\iint_{D_a}f(x,y)\,dx\,dy\\ &\quad\le\iint_{S_a}f(x,y)\,dx\,dy\\ &\quad\le\iint_{D_{\sqrt2a}}f(x,y)\,dx\,dy \end{aligned}.$$

   (3) 求 $\displaystyle I=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$。

3. 设 $n\ge3$，考虑 $n$ 阶方阵

   $$A_n=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&0&1\\ -a_n&-a_{n-1}&\cdots&-a_2&-a_1 \end{pmatrix}.$$

   例如，$n=3$ 时为

   $$A_3=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_3&-a_2&-a_1\end{pmatrix}.$$

   回答下列问题。

   (1) 求 $n=3$ 时 $A_3$ 的特征多项式 $\Phi_3(x)$。

   (2) 求一般 $n$ 情形下 $A_n$ 的特征多项式 $\Phi_n(x)$。

   (3) 求 $A_n$ 对应于特征值 $c$ 的特征向量。

Kai

1. (1)

特性方程式は $r^2-4r+4=(r-2)^2=0$ であり，重根 $r=2$ をもつ。したがって，

$$\boxed{y(x)=(C_1+C_2x)e^{2x}},\qquad C_1,C_2\in\mathbb R.$$

1. (2)

$M(x,y)=1/x-1/y$，$N(x,y)=(x-1)/y^2$ とおく。$x\ne0,y\ne0$ の領域で

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac1{y^2} =\frac{\partial N}{\partial x}$$

となる。実際，$M$ を $x$ について積分した関数を

$$F(x,y)=\log|x|-\frac{x}{y}+g(y)$$

とおくと，$F_y=x/y^2+g'(y)=N$ より $g'(y)=-1/y^2$，すなわち $g(y)=1/y$ と取れる。よって与式は $dF=0$ という完全微分形であり，一般解の陰関数表示は

$$\boxed{\log|x|-\frac{x-1}{y}=C},\qquad x\ne0,\ y\ne0.$$

この等位式で表される曲線のうち，$y=y(x)$ として定義できる部分を取る。

2. (1)

極座標 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$ を用いると，$0\le r\le a$，$0\le\theta\le\pi/2$，$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ である。したがって，

$$\begin{aligned} \iint_{D_a}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy &=\int_0^{\pi/2}\!\int_0^a e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\\ &=\boxed{\frac\pi4(1-e^{-a^2})}. \end{aligned}$$

2. (2)

$D_a$ は半径 $a$ の円の第 1 象限部分，$S_a$ は一辺 $a$ の正方形，$D_{\sqrt2a}$ は半径 $\sqrt2a$ の円の第 1 象限部分である。

図：祭音Myyura。

$(x,y)\in D_a$ なら $0\le x,y\le a$ なので $D_a\subseteq S_a$。また，$(x,y)\in S_a$ なら $x^2+y^2\le2a^2$ なので $S_a\subseteq D_{\sqrt2a}$。ゆえに

$$D_a\subseteq S_a\subseteq D_{\sqrt2a}.$$

被積分関数 $f(x,y)$ が非負であることから，積分についても題意の不等式が成り立つ。

2. (3)

$J(a)=\int_0^a e^{-x^2}\,dx$ とおくと，積の形の被積分関数を正方形上で積分して

$$J(a)^2=\iint_{S_a}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$

を得る。(1)，(2) より

$$\frac\pi4(1-e^{-a^2})\le J(a)^2 \le\frac\pi4(1-e^{-2a^2}).$$

$J(a)$ は非負で単調増加し，上式によって有界である。したがって広義積分 $I=\lim_{a\to\infty}J(a)$ は存在し，はさみうちの原理から $I^2=\pi/4$。$I>0$ より

$$\boxed{I=\frac{\sqrt\pi}{2}}.$$

3. (1)

固有多項式を $\Phi_n(x)=\det(xI-A_n)$ と定義する。すると，

$$\begin{aligned} \Phi_3(x) &=\det\begin{pmatrix}x&-1&0\\0&x&-1\\a_3&a_2&x+a_1\end{pmatrix}\\ &=x\{x(x+a_1)+a_2\}+a_3\\ &=\boxed{x^3+a_1x^2+a_2x+a_3}. \end{aligned}$$

3. (2)

$xI-A_n$ を第 1 列で展開する。第 1 行の項は，係数 $a_1,\ldots,a_{n-1}$ に対する同形の $(n-1)$ 次行列式の $x$ 倍となる。最終行の項は，三角行列となる小行列式が $(-1)^{n-1}$ であることから

$$(-1)^{n+1}a_n(-1)^{n-1}=a_n$$

となる。よって次数を順に下げて展開すれば，

$$\boxed{\begin{aligned} \Phi_n(x)&=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}\\ &\quad+\cdots+a_{n-1}x+a_n. \end{aligned}}$$

$\det(A_n-xI)$ を固有多項式とする規約では，これに $(-1)^n$ を掛けた式となる。

3. (3)

$v=(v_1,\ldots,v_n)^{\mathsf T}$ に対して $A_nv=cv$ の第 1～$n-1$ 行を読むと，

$$v_{j+1}=cv_j\quad(1\le j<n)$$

である。したがって $v_j=c^{j-1}v_1$。$v\ne0$ なら $v_1\ne0$ でなければならない。最終行は

$$-a_n-a_{n-1}c-\cdots-a_1c^{n-1}=c^n$$

に等しく，固有値の条件 $\Phi_n(c)=0$ により満たされる。ゆえに，対応する固有ベクトル全体は

$$\boxed{v=t\begin{pmatrix}1&c&c^2&\cdots&c^{n-1}\end{pmatrix}^{\mathsf T}},\qquad t\ne0$$

である。

Reference

• 中央大学 2025年度 夏季一般入学試験・情報工学 公式問題（冊内 p.74／PDF 第75頁）