千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B8

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• Measurability-of-Random-Variables

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $X:\Omega\to\mathbb R$ が確率空間 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 上の実数値確率変数であることと、すべての $a\in\mathbb R$ に対して $\{X<a\}\in\mathcal F$ であることは同値であると示せ。

(2) 実数値確率変数 $X,Y$ に対して $X+Y$ も実数値確率変数であることを示せ。

题目描述

(1) 证明实值函数是随机变量，当且仅当对任意实数 $a$，集合 $\{X<a\}$ 可测。(2) 证明两个实值随机变量之和仍是随机变量。

Kai

(1)

$X$ が可測なら、開集合 $(-\infty,a)$ の逆像は可測である。

逆に仮定が成立するとき、$\mathcal D=\{B\subset\mathbb R\mid X^{-1}(B)\in\mathcal F\}$ は逆像の演算則より $\sigma$ 加法族であり、すべての $(-\infty,a)$ を含む。この半直線族は実数直線の Borel 集合族を生成する。実際、

$$(-\infty,a]=\bigcap_{n=1}^\infty(-\infty,a+1/n),\qquad (a,b)=(-\infty,b)\setminus(-\infty,a]$$

であり、任意の開集合は有理端点の開区間の可算和である。したがって $\mathcal B(\mathbb R)\subset\mathcal D$、すなわち $X$ は可測である。

(2)

任意の $a\in\mathbb R$ に対し、有理数の稠密性から

$$\{X+Y<a\}=\bigcup_{r\in\mathbb Q}\bigl(\{X<r\}\cap\{Y<a-r\}\bigr).$$

右辺は可測集合の可算和なので可測である。(1) より $X+Y$ は確率変数である。