千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B7

标签：

• Compactness-in-Sequence-Spaces

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

Banach 空間 $\ell^1(\mathbb N)$ のノルムを $\|x\|_1=\sum_{n=1}^\infty|x_n|$ とし、任意の複素数列 $a=(a_n)$ に対して

$$E_a=\{x\in\ell^1(\mathbb N)\mid |x_n|\le|a_n|\text{ for all }n\}$$

とする。

(1) $a\in\ell^1$ とする。$E_a$ 内の点列 $x^{(k)}$ が $x\in E_a$ に各点収束するなら、$\ell^1$ ノルムでも収束することを示せ。

(2) $a\in\ell^1$ なら $E_a$ はコンパクトであることを示せ。(3) $a\notin\ell^1$ なら $E_a$ はコンパクトでないことを示せ。

题目描述

在绝对可和复数列空间中，以给定数列各分量的绝对值作为逐项上界定义集合 $E_a$。(1) 当 $a$ 可和时证明集合内的逐点收敛蕴含范数收敛。(2) 证明此时 $E_a$ 紧。(3) 当 $a$ 不可和时证明 $E_a$ 不紧。

Kai

(1)

$\varepsilon>0$ に対し $2\sum_{n>N}|a_n|<\varepsilon/2$ となる $N$ を選ぶ。有限個の座標の収束から、十分大きな $k$ について

$$\|x^{(k)}-x\|_1 \le\sum_{n=1}^N|x_n^{(k)}-x_n|+2\sum_{n>N}|a_n|<\varepsilon.$$

(2)

$E_a$ 内の任意の点列に対し、各座標は複素平面のコンパクトな閉円板 $\{|z|\le|a_n|\}$ に属する。対角線論法によって全座標が収束する部分列をとれる。その極限 $x$ は $|x_n|\le|a_n|$ を満たし、$\sum_n|x_n|\le\sum_n|a_n|<\infty$ なので $x\in E_a$。(1) よりこの部分列はノルム収束する。従って距離空間における点列コンパクト性から $E_a$ はコンパクトである。

(3)

切断列 $x^{(N)}=(a_1,\ldots,a_N,0,0,\ldots)$ は $E_a$ に属するが、

$$\|x^{(N)}\|_1=\sum_{n=1}^N|a_n|\longrightarrow\infty.$$

従って $E_a$ は非有界であり、コンパクトでない。