千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B6

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• 初值问题
• 可分离变量的常微分方程

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $c>0$ に対し $x\,dy/dx=1/y$、$y(1)=c$ を解き、最大定義域を求めよ。

(2) $a\in\mathbb R,0<b<1$ に対し $dy/dx=2y\log y$、$y(a)=b$ を解け。

(3) $F(x,y)=y\log(x^2+y^2)$ とし、$F(0,0)=0$ と定める。方程式 $y'=F(x,y)$ について答えよ。

(a) $a<0,b>0,a^2+b^2<1$ とする。原点近傍まで定義された解 $y=\varphi(x)$ が $(a,b)$ を通るなら $\varphi(0)>0$ を示せ。

(b) 初期条件 $y(0)=0$ を満たす解は $y\equiv0$ のみであることを示せ。

题目描述

(1) 解初值问题 $xy'=1/y,y(1)=c>0$，并求最大定义区间。(2) 解 $y'=2y\log y,y(a)=b\in(0,1)$。(3) 将 $y\log(x^2+y^2)$ 在原点定义为零：(a) 证明从左上单位圆盘内一点经过的解到达 $x=0$ 时仍为正；(b) 证明过原点的解只有零解。

Kai

(1)

$yy'=1/x$ を積分して $y^2=c^2+2\log x$ を得る。初期値が正なので

$$\boxed{y(x)=\sqrt{c^2+2\log x},\qquad x\in(e^{-c^2/2},\infty)}.$$

左端では $y\to0$ となり元の方程式が定義されないため、これが最大定義区間である。

(2)

$u=\log y$ とすると $u'=2u$、$u(a)=\log b$ より

$$\boxed{y(x)=\exp\bigl((\log b)e^{2(x-a)}\bigr)=b^{e^{2(x-a)}}\quad(x\in\mathbb R)}.$$

(3a)

原点以外では $F$ は $C^1$ 級である。零解との局所一意性から $\varphi(x)>0$ ($a\le x<0$)。したがって

$$\frac{d}{dx}\log\varphi(x)=\log(x^2+\varphi(x)^2)\ge2\log|x|.$$

積分すると

$$\varphi(x)\ge b\exp\left(2\int_a^x\log|t|\,dt\right).$$

$\int_a^0\log|t|\,dt$ は有限である。$x\uparrow0$ と連続性から

$$\varphi(0)\ge b\exp\bigl(2a(1-\log|a|)\bigr)>0.$$

(3b)

$y(0)=0$ を満たす解をとり、$|x|$ が十分小さい範囲で $x^2+y(x)^2<1$ とする。$x>0$ では

$$(y^2)'=2y^2\log(x^2+y^2)\le0$$

であり、$y(0)^2=0$ より $y=0$ となる。

左側で非零となる点 $a<0$ があれば、必要に応じて $y$ を $-y$ に置き換え、$a^2+y(a)^2<1,y(a)>0$ とできる。(3a) より $y(0)>0$ となり矛盾する。よって原点の両側で零解である。原点以外での一意性により定義区間全体でも零解となる。