千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B5

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• Residue-Theorem
• Dirichlet-Test-for-Improper-Integrals

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$a>0$、$f(z)=e^{iaz}/(z-i)$ とする。$R_1,R_2>1$ とし、$R_1,R_1+i(R_1+R_2),-R_2+i(R_1+R_2),-R_2$ を頂点とする正方形の反時計回りの周を $C$ とする。

(1) $\oint_C f(z)\,dz$ を求めよ。

(2) $R_1$ から $R_1+i(R_1+R_2)$ への線分を $I_1$ とする。$R_1\to\infty$ のとき $\int_{I_1}f(z)\,dz\to0$ を示せ。

(3) 広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$ の収束を示し、その値を求めよ。

题目描述

设 $a>0,f(z)=e^{iaz}/(z-i)$，沿给定上半平面正方形逆时针积分。(1) 求闭路积分。(2) 证明右侧边积分随 $R_1\to\infty$ 消失。(3) 证明实轴上的通常双侧广义积分收敛并求值。

Kai

(1)

内部にある唯一の極 $z=i$ の留数は $e^{iai}=e^{-a}$ である。ゆえに

$$\boxed{\oint_Cf(z)\,dz=2\pi i e^{-a}}.$$

(2)

$L=R_1+R_2$、$z=R_1+it$ とおくと

$$\left|\int_{I_1}f(z)\,dz\right| \le\int_0^L\frac{e^{-at}}{R_1}\,dt \le\frac1{aR_1}\longrightarrow0.$$

(3)

左辺の積分も同様に絶対値が $1/(aR_2)$ 以下である。上辺では $|z-i|\ge L-1$ なので、絶対値は $Le^{-aL}/(L-1)\to0$。従って $R_1,R_2$ を独立に無限大へ送ると

$$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iax}}{x-i}\,dx=2\pi i e^{-a}}.$$

通常の広義収束は各半直線上の部分積分でも確認できる。

$$\int_A^B\frac{e^{iax}}{x-i}\,dx =\left[\frac{e^{iax}}{ia(x-i)}\right]_A^B +\frac1{ia}\int_A^B\frac{e^{iax}}{(x-i)^2}\,dx.$$

境界項は無限遠で消え、最後の積分は絶対収束する。負の半直線も同様である。