千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B4

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• 单纯同调与胞腔同调

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

頂点集合を $K=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ とする。全頂点を含む単体複体 $\Sigma_i$ を、次の辺と三角形で定める。$ij$ は $\{v_i,v_j\}$、$ijk$ は $\{v_i,v_j,v_k\}$ を表す。

複体	辺	三角形
$\Sigma_1$	$12,13,23,24$	なし
$\Sigma_2$	$12,13,23,24,34$	$123$
$\Sigma_3$	$12,13,23,24,34$	$123,234$

(1) $\Sigma_1,\Sigma_3$ の整係数ホモロジー群を計算せよ。

(2) 包含 $f:\Sigma_1\to\Sigma_2,g:\Sigma_2\to\Sigma_3$ が誘導する準同型に対し、$\ker g_*/\operatorname{im}f_*$ を求めよ。

题目描述

三个单纯复形有相同的四个顶点，边与填充的三角面如表。(1) 求第一与第三个复形的整数同调。(2) 对两个包含映射诱导的同调同态，求 $\ker g_*/\operatorname{im}f_*$。

Kai

(1)

$\Sigma_1$ は三角形の周に一本の枝を付けたもので、$S^1$ に変形収縮する。$\Sigma_3$ は辺 $23$ を共有する二つの閉三角形であり、可縮である。したがって

$$H_j(\Sigma_1;\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z,&j=0,1,\\0,&j\ge2,\end{cases} \qquad H_j(\Sigma_3;\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z,&j=0,\\0,&j\ge1.\end{cases}$$

(2)

次数 $1$ では、$H_1(\Sigma_2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ は閉路 $234$ で生成される。$\Sigma_1$ の閉路 $123$ は $\Sigma_2$ で三角形の境界となるから $f_*=0$。$\Sigma_3$ では閉路 $234$ も境界となるので $g_*=0$。従って

$$\boxed{\ker g_*/\operatorname{im}f_*\cong\mathbb Z\quad(j=1)}.$$

次数 $j\ge2$ ではすべて $0$ なので商も $0$。

通常の次数 $0$ ではこの商は定義されない。 三空間は連結で、$f_*,g_*:\mathbb Z\to\mathbb Z$ はともに恒等写像であるため、$\operatorname{im}f_*=\mathbb Z\not\subset\ker g_*=0$ となる。被約ホモロジーを用いるなら次数 $0$ の商は $0$ である。