千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B3

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• Divergence-Theorem
• Torus-Volume

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$xy$ 平面の単位円を直線 $x=2,z=0$ の周りに回転させた曲面を $\Sigma$、原点中心・半径 $\rho>0$ の球面を $S^2_\rho$ とし、いずれも外向きに向き付ける。$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とおき、

$$\omega=x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx+z\,dx\wedge dy, \qquad\eta=(1-r^{-3})\omega$$

とする。

(1) $x=\rho\sin\varphi\cos\theta,y=\rho\sin\varphi\sin\theta,z=\rho\cos\varphi$ を用い、$\omega|_{S^2_\rho}$ を表せ。(2) $\int_{S^2_\rho}\omega$ を求めよ。(3) $d\eta$ を求めよ。(4) $\int_\Sigma\eta$ を求めよ。

题目描述

将 $xy$ 平面单位圆绕直线 $x=2,z=0$ 旋转得到环面 $\Sigma$，另取原点中心半径 $\rho$ 的球面，均取外向定向。定义上述二次微分形式。(1) 用球坐标写球面上的 $\omega$。(2) 求球面积分。(3) 求 $d\eta$。(4) 求环面上的积分。

Kai

(1), (2)

球座標の外向き面積要素を用いると

$$\boxed{\omega|_{S^2_\rho}=\rho^3\sin\varphi\,d\varphi\wedge d\theta}, \qquad \boxed{\int_{S^2_\rho}\omega=4\pi\rho^3}.$$

(3)

$\eta$ に対応するベクトル場は $(1-r^{-3})(x,y,z)$ である。$r>0$ で

$$\operatorname{div}\bigl((1-r^{-3})(x,y,z)\bigr) =3(1-r^{-3})+3r^{-3}=3.$$

したがって $\boxed{d\eta=3\,dx\wedge dy\wedge dz}$。

(4)

$\Sigma$ は主半径 $2$、管半径 $1$ のトーラスを囲み、その内部 $T$ の体積は $4\pi^2$ である。原点は回転軸から距離 $2$ にあり、$T$ の内部に属する。

原点中心の十分小さい球を除いて Stokes の定理を用いると

$$\int_\Sigma\eta-\int_{S^2_\varepsilon}\eta =3\left(4\pi^2-\frac{4\pi\varepsilon^3}{3}\right).$$

また (2) から $\int_{S^2_\varepsilon}\eta=4\pi(\varepsilon^3-1)$。従って

$$\boxed{\int_\Sigma\eta=12\pi^2-4\pi}.$$