千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\sigma:\mathbb F_3[t]\to\mathbb F_3[t]$ を $\sigma(t)=t+1$ で定め、$G=\langle\sigma\rangle$ とする。

(1) $P_0=(t^2+1)$ の軌道 $S=\{\sigma^i(P_0)\mid i\in\mathbb Z\}$ を求めよ。

(2) $\sigma(P)=P$ となる極大イデアルのうち、剰余体の位数が最小になるものを一つ求めよ。

(3) $G$ の固定部分環 $A$ を求めよ。

(4) $A\cap P_0$、および (2) で選んだ $P$ に対する $A\cap P$ を求めよ。

题目描述

在三元域多项式环上令 $\sigma(t)=t+1$。(1) 求素理想 $(t^2+1)$ 的轨道。(2) 在被 $\sigma$ 固定的极大理想中，找出使剩余域最小者。(3) 求不变子环。(4) 求这两个理想与不变子环的交。

Kai

(1)

$\sigma^3=1$ より

$$\boxed{S=\{(t^2+1),(t^2+2t+2),(t^2+t+2)\}}.$$

(2), (3)

$u=t^3-t$ とおくと $\sigma(u)=u$。逆に次数 $d>0$、最高次係数 $c\ne0$ の不変多項式 $h$ について、$h(t+1)-h(t)$ の $t^{d-1}$ の係数は $cd$ だから $3\mid d$ である。$h-cu^{d/3}$ は低い次数の不変多項式なので、次数の帰納法から

$$\boxed{A=\mathbb F_3[u]}.$$

安定な極大イデアルのモニック生成元も不変でなければならず、その次数は $3$ の倍数である。$t^3-t-1=u-1$ は $\mathbb F_3$ に根をもたない三次多項式なので既約。したがって

$$\boxed{P=(t^3-t-1)},\qquad |\mathbb F_3[t]/P|=3^3=27$$

が最小である。

(4)

$P_0$ を法として $t^2=-1$、$t^3=-t$ なので $u=t^3-t=t$（標数 $3$）となる。$t$ の最小多項式は $t^2+1$ だから

$$\boxed{A\cap P_0=(u^2+1)\subset\mathbb F_3[u]}.$$

一方、$P$ を法として $u=1$ なので

$$\boxed{A\cap P=(u-1)\subset\mathbb F_3[u]}.$$