千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 B1

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• 有限群

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$G$ の自己同型群を $\operatorname{Aut}(G)$ とする。

(1) $f\in\operatorname{Aut}(G)$ の逆写像 $f^{-1}$ は群準同型であることを示せ。

(2) $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/3\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ の同型を与えよ。

(3) $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ が位数 $3$ 以上の巡回群になる $n$ を一つ挙げ、証明せよ。

(4) 巡回群にならない $n$ を一つ挙げ、証明せよ。

题目描述

(1) 证明群自同构的逆映射也是同态。(2) 给出三阶循环群的自同构群与二阶循环群的具体同构。(3) 给出其自同构群为至少三阶循环群的 $\mathbb Z/n\mathbb Z$。(4) 给出自同构群不循环的例子并证明。

Kai

(1)

$a=f(x),b=f(y)$ と書けば $f(xy)=ab$ より

$$f^{-1}(ab)=xy=f^{-1}(a)f^{-1}(b).$$

(2)

巡回群の自己同型は $1$ の像で決まり、その像は生成元でなければならない。$f_u(x)=ux$ と書くと

$$\operatorname{Aut}(\mathbb Z/n\mathbb Z)\cong(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times, \qquad f_u\circ f_v=f_{uv}.$$

$n=3$ では $f_1\mapsto0$、$f_2\mapsto1$ が所望の同型である。

(3)

$n=5$ をとる。法 $5$ で $2,2^2,2^3,2^4\equiv2,4,3,1$ なので、$f_2$ が自己同型群全体を生成し、その位数は $4$ である。

(4)

$n=8$ をとる。単元は $1,3,5,7$ の四つだが、すべて $u^2\equiv1\pmod8$ を満たす。位数 $4$ の元が存在しないため、この自己同型群は巡回群でない。