千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 A4

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• Linear-Combination-of-Independent-Normals
• Covariance

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X,Y$ は独立な標準正規変数とし、$Z=X+Y+2$、$W=X-2Y-1$ とする。

(1) $E[|X|]$ を求めよ。(2) $P(Z<W)$ を小数点以下第 $3$ 位で四捨五入せよ。$0.34134<\int_0^1e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}\,dx<0.34135$ を用いてよい。(3) $W$ の密度を求めよ。(4) $\operatorname{Cov}(Z,W)$ を求めよ。

题目描述

$X,Y$ 为独立标准正态变量，$Z=X+Y+2,W=X-2Y-1$。(1) 求 $|X|$ 的期望。(2) 求 $P(Z<W)$，四舍五入保留两位小数，可用上给积分范围。(3) 求 $W$ 的密度。(4) 求 $Z,W$ 的协方差。

Kai

(1)

$$E|X|=\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty xe^{-x^2/2}\,dx =\boxed{\sqrt{\frac2\pi}}.$$

(2)

$Z<W\iff Y<-1$ なので $P(Z<W)=\tfrac12-\int_0^1e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}\,dx$。従って求める近似値は $\boxed{0.16}$。

(3)

独立正規変数の線形結合より $W\sim N(-1,5)$。したがって

$$\boxed{f_W(w)=\frac1{\sqrt{10\pi}}\exp\left(-\frac{(w+1)^2}{10}\right)}.$$

(4)

$$\operatorname{Cov}(Z,W)=\operatorname{Var}(X)-2\operatorname{Var}(Y) =\boxed{-1}.$$