千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 A3

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) 距離空間 $(X,d_1)$ に対し $d_2(x,y)=d_1(x,y)/(1+d_1(x,y))$ も距離であることを示せ。

(2) 恒等写像 $(X,d_1)\to(X,d_2)$ と $(X,d_2)\to(X,d_1)$ はそれぞれ連続か。

(3) コンパクト位相空間 $Y$ の閉部分空間 $F$ はコンパクトであることを示せ。

题目描述

(1) 证明将距离 $d$ 换成 $d/(1+d)$ 后仍是距离。(2) 判断两种距离空间之间两个方向的恒等映射是否连续。(3) 证明紧空间的闭子空间仍紧。

Kai

(1)

非負性、対称性、および $d_2(x,y)=0\iff x=y$ は明らかである。$a,b\ge0$ について

$$\frac{a+b}{1+a+b}\le\frac a{1+a}+\frac b{1+b}$$

であり、$t/(1+t)$ は増加関数である。これを $d_1$ の三角不等式に適用すると $d_2$ の三角不等式を得る。

(2)

どちらも連続である。 一方は $d_2\le d_1$ より従う。逆方向について、任意の $\varepsilon>0$ に対し

$$d_2(x,y)<\frac\varepsilon{1+\varepsilon}\quad\Longrightarrow\quad d_1(x,y)<\varepsilon$$

となる。

(3)

$F$ の相対開被覆を $\{U_i\}$ とし、$U_i=V_i\cap F$、$V_i$ は $Y$ の開集合と書く。$\{V_i\}\cup\{Y\setminus F\}$ は $Y$ の開被覆なので有限部分被覆をもつ。それに対応する有限個の $U_i$ が $F$ を覆う。ゆえに $F$ はコンパクトである。