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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 A2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(1) 次の極限を求めよ。

(i) lim⁡n→∞1n∑k=1nlog⁡(1+k/n),(ii) lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2,(iii) lim⁡n→∞1n∑k=1n−4k+kk5k+(k+1)k.\text{(i) }\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\log(1+k/n),\qquad \text{(ii) }\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac n{n^2+k^2},\qquad \text{(iii) }\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{-4^k+k^k}{5^k+(k+1)^k}.

(2) f:R3→R3f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 を次で定める。

f(x1,x2,x3)=(ex1−3x2−1sin⁡x2+x3x1−x2+x3).f(x_1,x_2,x_3)=\begin{pmatrix}e^{x_1}-3x_2-1\\\sin x_2+x_3\\x_1-x_2+x_3\end{pmatrix}.

原点の開近傍 UU が存在して g=f∣U:U→f(U)g=f|_U:U\to f(U) は全単射となることを示せ。逆写像 h=(h1,h2,h3)Th=(h_1,h_2,h_3)^{\mathsf T} に対し、∂h1/∂x1(0)\partial h_1/\partial x_1(0) と ∂h3/∂x3(0)\partial h_3/\partial x_3(0) を求めよ。

题目描述​

(1) 求上述三个数列极限。(2) 对所给三元映射证明它在原点某开邻域上可逆，并计算逆映射在原点的两个指定偏导数。

Kai​

(1)​

(i), (ii) は Riemann 和なので、

∫01log⁡(1+x) dx=2log⁡2−1,∫01dx1+x2=π4.\boxed{\int_0^1\log(1+x)\,dx=2\log2-1},\qquad \boxed{\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4}.

(iii) の各項を (k+1)k(k+1)^k で割ると

(k/(k+1))k−(4/(k+1))k1+(5/(k+1))k⟶e−1.\frac{(k/(k+1))^k-(4/(k+1))^k}{1+(5/(k+1))^k}\longrightarrow e^{-1}.

収束数列の Cesàro 平均も同じ値に収束するので、答えは e−1\boxed{e^{-1}}。

(2)​

f(0)=0f(0)=0 であり、

Df(0)=(1−300111−11),det⁡Df(0)=−1≠0.Df(0)=\begin{pmatrix}1&-3&0\\0&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad\det Df(0)=-1\ne0.

ff は C1C^1 級なので、逆写像定理により所望の UU と C1C^1 級逆写像が存在する。連鎖律より

Dh(0)=Df(0)−1=(−2−33−1−1112−1).Dh(0)=Df(0)^{-1}=\begin{pmatrix}-2&-3&3\\-1&-1&1\\1&2&-1\end{pmatrix}.

したがって

∂h1∂x1(0)=−2,∂h3∂x3(0)=−1.\boxed{\frac{\partial h_1}{\partial x_1}(0)=-2,\qquad \frac{\partial h_3}{\partial x_3}(0)=-1}.
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