千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 A1 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)
Description 複素係数の二変数多項式で全次数 2 2 2 V V V ( v 1 , … , v 6 ) = ( x 2 , x y , y 2 , x , y , 1 ) (v_1,\ldots,v_6)=(x^2,xy,y^2,x,y,1) ( v 1 , … , v 6 ) = ( x 2 , x y , y 2 , x , y , 1 )
(1) w 1 = x y + y , w 2 = 2 x , w 3 = x y + x + y w_1=xy+y,w_2=2x,w_3=xy+x+y w 1 = x y + y , w 2 = 2 x , w 3 = x y + x + y
(2) 線形写像
f ( v ) = ( − 4 + − 12 ) x 2 − 3 x y + 3 y 2 2 ∂ 2 v ∂ x 2 + 3 x 2 + 3 x y − − 12 y 2 2 ∂ 2 v ∂ y 2 + ( 2 x + y ) ∂ v ∂ x − x ∂ v ∂ y f(v)=\frac{(-4+\sqrt{-12})x^2-3xy+3y^2}{2}\frac{\partial^2v}{\partial x^2}
+\frac{3x^2+3xy-\sqrt{-12}y^2}{2}\frac{\partial^2v}{\partial y^2}
+(2x+y)\frac{\partial v}{\partial x}-x\frac{\partial v}{\partial y} f ( v ) = 2 ( − 4 + − 12 ) x 2 − 3 x y + 3 y 2 ∂ x 2 ∂ 2 v + 2 3 x 2 + 3 x y − − 12 y 2 ∂ y 2 ∂ 2 v + ( 2 x + y ) ∂ x ∂ v − x ∂ y ∂ v のこの基底に関する表現行列を A = diag ( B , C , 0 ) A=\operatorname{diag}(B,C,0) A = diag ( B , C , 0 ) B B B 3 3 3 C C C 2 2 2 B , C B,C B , C
(3) P − 1 C P P^{-1}CP P − 1 CP P P P B B B B B B
题目描述
设 V V V ( x 2 , x y , y 2 , x , y , 1 ) (x^2,xy,y^2,x,y,1) ( x 2 , x y , y 2 , x , y , 1 ) 3 × 3 3\times3 3 × 3 B B B 2 × 2 2\times2 2 × 2 C C C C C C B B B B B B
Kai q = − 3 = i 3 q=\sqrt{-3}=i\sqrt3 q = − 3 = i 3
(1)
2 w 1 + w 2 − 2 w 3 = 0 2w_1+w_2-2w_3=0 2 w 1 + w 2 − 2 w 3 = 0
(2)
基底の各元に f f f
B = ( 2 q − 1 3 − 1 2 1 3 1 − 2 q ) , C = ( 2 − 1 1 0 ) . \boxed{B=\begin{pmatrix}2q&-1&3\\-1&2&1\\3&1&-2q\end{pmatrix},\qquad
C=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}}. B = 2 q − 1 3 − 1 2 1 3 1 − 2 q , C = ( 2 1 − 1 0 ) . (3)
p 1 = ( 1 , 1 ) T , p 2 = ( 1 , 0 ) T p_1=(1,1)^{\mathsf T},p_2=(1,0)^{\mathsf T} p 1 = ( 1 , 1 ) T , p 2 = ( 1 , 0 ) T ( C − I ) p 1 = 0 (C-I)p_1=0 ( C − I ) p 1 = 0 ( C − I ) p 2 = p 1 (C-I)p_2=p_1 ( C − I ) p 2 = p 1
P = ( 1 1 1 0 ) , P − 1 C P = ( 1 1 0 1 ) . \boxed{P=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad
P^{-1}CP=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}. P = ( 1 1 1 0 ) , P − 1 CP = ( 1 0 1 1 ) . (4), (5)
直接計算により det ( t I − B ) = t ( t − 1 ) 2 \det(tI-B)=t(t-1)^2 det ( t I − B ) = t ( t − 1 ) 2
E 0 = C ( 1 + 4 q − 3 + 2 q 7 ) , E 1 = C ( 1 + q − 1 + q 2 ) . E_0=\mathbb C\begin{pmatrix}1+4q\\-3+2q\\7\end{pmatrix},\qquad
E_1=\mathbb C\begin{pmatrix}1+q\\-1+q\\2\end{pmatrix}. E 0 = C 1 + 4 q − 3 + 2 q 7 , E 1 = C 1 + q − 1 + q 2 . 各ベクトルの非零倍が固有ベクトルである。rank ( B − I ) = 2 \operatorname{rank}(B-I)=2 rank ( B − I ) = 2 dim E 1 = 1 < 2 \dim E_1=1<2 dim E 1 = 1 < 2 B B B 対角化不可能 。