千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2024年8月実施 専門 A0

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X,Y$ を空でない集合、$f:X\to Y$ を写像とする。補集合を上付きの $c$ で表す。

(1) $g\circ f=I_X$ となる $g:Y\to X$ が存在すれば、$f$ は単射であることを示せ。

(2) $f$ が単射ならば、任意の $A_1,A_2\subset X$ に対して $f(A_1\cap A_2^c)=f(A_1)\cap f(A_2)^c$ を示せ。

(3) 任意の $B_1,B_2\subset Y$ に対して $f^{-1}(B_1\cap B_2^c)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)^c$ を示せ。

(4) $X=Y=\mathbb N$ のとき、(i) 全射だが単射でない写像、(ii) 単射だが全射でない写像の例を挙げよ。

题目描述

设 $f:X\to Y$ 为非空集合间映射，上标 $c$ 表示补集。(1) 证明存在左逆时 $f$ 单射。(2) 在单射条件下证明像保持差集。(3) 证明任意映射的原像保持差集。(4) 给出自然数集到自身的满而不单、单而不满的映射。

Kai

(1)

$f(x)=f(x')$ ならば $x=g(f(x))=g(f(x'))=x'$ である。

(2)

$y=f(x)$、$x\in A_1\setminus A_2$ とする。もし $y\in f(A_2)$ なら、単射性より $x\in A_2$ となり矛盾する。よって左辺は右辺に含まれる。

逆に $y\in f(A_1)\setminus f(A_2)$ なら、$y=f(x)$ となる $x\in A_1$ が存在し、$x\in A_2$ は不可能である。したがって右辺も左辺に含まれる。

(3)

$$\begin{aligned} x\in f^{-1}(B_1\cap B_2^c) &\iff f(x)\in B_1\text{ かつ }f(x)\notin B_2\\ &\iff x\in f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)^c. \end{aligned}$$

(4)

$\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$ とすれば、(i) $f(n)=\lceil n/2\rceil$、(ii) $f(n)=n+1$ が例である。前者は各値 $k$ を $2k-1,2k$ でとり、後者は $1$ を値にとらない。