千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 B8

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• Central-Limit-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) 中心極限定理の主張を述べよ。

(2) 特性関数による分布収束の判定と、標準正規分布の特性関数が $e^{-t^2/2}$ であることを用いて、中心極限定理を証明せよ。

题目描述

(1) 叙述中心极限定理。(2) 利用特征函数的逐点收敛判别及标准正态分布的特征函数 $e^{-t^2/2}$，证明该定理。

Kai

(1)

$X_1,X_2,\ldots$ が独立同分布で、$E[X_1]=\mu$、$0<\operatorname{Var}(X_1)=\sigma^2<\infty$ とする。このとき

$$\frac{\sum_{j=1}^nX_j-n\mu}{\sigma\sqrt n} \xrightarrow{\mathrm d}N(0,1).$$

(2)

$Y_j=(X_j-\mu)/\sigma$ とし、その特性関数を $\phi(t)$ とする。$E[Y_j]=0,E[Y_j^2]=1$ なので、優収束定理による原点での二次展開から

$$\phi(t)=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2)\qquad(t\to0).$$

この展開は $E[Y_j^2]<\infty$ のみで成立する。実際、$|e^{iu}-1-iu|\le u^2/2$ を用いれば、二次剰余を $Y_j^2$ の定数倍で支配できる。

独立性から、標準化した和の特性関数は

$$\left[\phi\left(\frac t{\sqrt n}\right)\right]^n =\left[1-\frac{t^2}{2n}+o(n^{-1})\right]^n \longrightarrow e^{-t^2/2}.$$

極限は標準正規分布の特性関数であり、原点で連続なので、特性関数の連続性定理から結論を得る。