千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 B7

标签：

• Normed-Space
• Bounded-Linear-Operator

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X=C([0,1];\mathbb R)$ とし、$\|f\|=\int_0^1x|f(x)|\,dx$ と定める。

(1) これはノルムであることを示せ。

(2) $g_n(x)=x^{1/n}$ は $X$ で収束するか。理由を述べよ。

(3) $h_n(x)=n$ ($0\le x\le1/n$)、$h_n(x)=1/x$ ($1/n\le x\le1$) は $X$ で収束するか。理由を述べよ。

(4) $\varphi(f)=\int_0^1f(x)\sin(\pi x)\,dx$ は有界線形写像か。

(5) $\psi(f)=\int_0^1\sqrt x\,f(x)\,dx$ は有界線形写像か。各々理由を述べよ。

题目描述

在连续函数空间 $X=C([0,1];\mathbb R)$ 上取加权积分范数。(1) 证明它确为范数。(2) 判断 $x^{1/n}$ 是否依此范数收敛。(3) 判断上述连续截断函数 $h_n$ 是否在 $X$ 内收敛。(4)(5) 判断积分线性泛函 $\varphi,\psi$ 是否有界，并说明理由。

Kai

(1)

非負性、斉次性、三角不等式は絶対値と積分の性質から従う。$\|f\|=0$ なら連続な非負関数 $x|f(x)|$ は恒等的に $0$。従って $x>0$ で $f(x)=0$、連続性から $f(0)=0$ であり、正定値性も成立する。

(2)

定数関数 $1$ に収束する。

$$\|g_n-1\|=\int_0^1x(1-x^{1/n})\,dx =\frac12-\frac n{2n+1}=\frac1{2(2n+1)}\longrightarrow0.$$

(3)

$X$ 内では収束しない。 仮に $h_n\to h\in X$ とすると、任意の $\delta>0$ と $n>1/\delta$ について

$$\int_\delta^1x|h(x)-1/x|\,dx\le\|h-h_n\|\longrightarrow0.$$

連続性から $h(x)=1/x$ ($x>0$) となるが、これは原点で連続な $h$ の存在に反する。

(4)

$|\sin\pi x|\le\pi x$ より $|\varphi(f)|\le\pi\|f\|$。従って 有界。

(5)

$f_n(x)=\max(1-nx,0)$ とおくと

$$\|f_n\|=\frac1{6n^2},\qquad \psi(f_n)=\frac4{15n^{3/2}},\qquad \frac{|\psi(f_n)|}{\|f_n\|}=\frac85\sqrt n\longrightarrow\infty.$$

したがって $\psi$ は 有界でない。