千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2023年8月実施専門 B6

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

次の連立常微分方程式を考え、初期値 $P\in\mathbb R^2$ をもつ解を $(x_P(t),y_P(t))$ とする。

x'=x(1-x^2-y^2)-y,\qquad y'=y(1-x^2-y^2)+x.

(1) $r(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}$ の微分方程式を求めよ。

(2) $P=(1/\sqrt2,0)$ の解を求めよ。

(3) 一般の $P$ に対し、尾軌道の閉包の共通部分

L(P)=\bigcap_{s\in\mathbb R}\overline{\{(x_P(t),y_P(t))\mid t\ge s\}}

を求めよ。

对上述平面系统，记初值为 $P$ 的解为 $(x_P,y_P)$ 。(1) 求半径 $r$ 的微分方程。(2) 求初值 $(1/\sqrt2,0)$ 的解。(3) 求任意初值的尾轨道闭包的交集 $L(P)$ ，即其正向极限集合。

$r>0$ では

r'=\frac{xx'+yy'}r=r(1-r^2).

原点は平衡点なので $r=0$ の場合も同じ式が成立する。偏角は $\theta'=(xy'-yx')/r^2=1$ を満たす。

$u=r^2$ とおくと $u'=2u(1-u)$ 、 $u(0)=1/2$ だから $u(t)=(1+e^{-2t})^{-1}$ 。よって

\boxed{x_P(t)=\frac{\cos t}{\sqrt{1+e^{-2t}}},\qquad y_P(t)=\frac{\sin t}{\sqrt{1+e^{-2t}}}}.

$P=0$ なら零解で、 $L(P)=\{0\}$ 。 $P\ne0$ では

r(t)^2=\frac1{1+(|P|^{-2}-1)e^{-2t}}\longrightarrow1, \qquad\theta(t)=t+\theta_0.

解は $t\ge0$ で存在する。すべての集積点は単位円上にあり、任意の角度 $\phi$ に対して $t_j=\phi-\theta_0+2\pi j\to\infty$ を選べば、その角度の単位円上の点に収束する。したがって

\boxed{L(P)=\begin{cases}\{(0,0)\},&P=0,\\S^1,&P\ne0.\end{cases}}

尾集合の共通部分は $s\ge0$ に制限しても同じである。