千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2023年8月実施専門 B5

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$D=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ 上で $z=\rho e^{i\theta}$ 、 $-\pi<\theta<\pi$ に対して $z^p=\rho^pe^{ip\theta}$ ( $p\in\mathbb R$ ) と定める。

(1) $0<r<1<R$ とし、扇形環状領域 $D_{r,R}=\{\rho e^{i\theta}\mid r<\rho<R,\ 0<\theta<2\pi/3\}$ の正向き境界を $C_{r,R}$ とする。 $\oint_{C_{r,R}}z^p/(1+z^3)\,dz$ を求めよ。

(2) $q>1$ のとき $\int_0^\infty(1+x^q)^{-1}\,dx$ を求めよ。

在去掉非正实轴的平面上取主值幂 $z^p$ 。(1) 在半径 $r,R$ 、辐角 $0,2\pi/3$ 围成的扇形环域的正向边界上，计算 $z^p/(1+z^3)$ 的积分，其中 $0<r<1<R$ 。(2) 对 $q>1$ 求 $\int_0^\infty dx/(1+x^q)$ 。

内部の極は $z_0=e^{i\pi/3}$ のみで、その留数は $z_0^{p-2}/3$ である。よって

\boxed{\oint_{C_{r,R}}\frac{z^p}{1+z^3}\,dz =\frac{2\pi i}{3}e^{i\pi(p-2)/3}}.

$-1<p<2$ とする。大円弧の積分は $O(R^{p-2})$ 、小円弧の積分は $O(r^{p+1})$ なので、ともに極限で消える。二つの直線部分を合わせると

\left(1-e^{2\pi i(p+1)/3}\right)\int_0^\infty\frac{t^p}{1+t^3}\,dt =\frac{2\pi i}{3}e^{i\pi(p-2)/3}.

したがって

\int_0^\infty\frac{t^p}{1+t^3}\,dt =\frac{\pi}{3\sin(\pi(p+1)/3)}.

$x^q=t^3$ 、 $p=3/q-1\in(-1,2)$ とおけば

\boxed{\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^q} =\frac3q\int_0^\infty\frac{t^{3/q-1}}{1+t^3}\,dt =\frac{\pi}{q\sin(\pi/q)}}.