千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 B4

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• Simplicial-and-Cellular-Homology

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$S=\{e^{i\theta}\mid\theta\in\mathbb R\}$、$I=[0,1]$ とする。非零整数 $k$ に対し、$S\times I$ の端を $(e^{i\theta},0)\mapsto(e^{ik\theta},1)$ で貼り合わせた空間を $\Sigma_k$ とする。

原題の続く表示では、$(e^{i\theta},t)\sim(e^{i\theta'},t')$ は次のいずれかが成り立つ場合と記されている。

$$\begin{gathered} t=t',\quad e^{i\theta}=e^{i\theta'},\\ \text{または }t=0,t'=1,\quad e^{i\theta}=e^{ik\theta'},\\ \text{または }t'=0,t=1,\quad e^{i\theta'}=e^{ik\theta}. \end{gathered}$$

(1) $\Sigma_{-1}$ の実係数ホモロジー群を求めよ。(2) $\Sigma_{-1}$ と $\Sigma_{-2}$ が同相か、理由を付けて答えよ。

题目描述

令 $S$ 为圆周、$I=[0,1]$，将圆柱两端按次数为 $k\ne0$ 的映射粘合，所得空间记为 $\Sigma_k$。原题随后给出的关系显示如上。(1) 求 $\Sigma_{-1}$ 的实系数同调群。(2) 判断 $\Sigma_{-1}$ 与 $\Sigma_{-2}$ 是否同胚并说明理由。

Kai

以下、端の貼り合わせから生成される同値関係による商空間を考える。

(1)

$\Sigma_k$ には $0$ 胞体が一つ、$1$ 胞体が二つ（円周方向 $a$ と区間方向 $b$）、$2$ 胞体が一つある。$2$ 胞体の境界では円周方向の次数差が $k-1$、区間方向の次数和が $0$ なので、胞体鎖複体は

$$0\longrightarrow\mathbb R \xrightarrow{\ u\mapsto((k-1)u,0)\ } \mathbb R^2\xrightarrow{0}\mathbb R\longrightarrow0.$$

$k=-1$ では最初の写像は単射である。よって

$$\boxed{H_j(\Sigma_{-1};\mathbb R)= \begin{cases}\mathbb R,&j=0,1,\\0,&j\ge2.\end{cases}}$$

(2)

同じ鎖複体を整数係数で考えると

$$H_1(\Sigma_{-1};\mathbb Z)\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z, \qquad H_1(\Sigma_{-2};\mathbb Z)\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/3\mathbb Z.$$

これらは同型でないため、二つの空間は 同相でない。