千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 B3

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• De-Rham-Cohomology
• Pullback-and-Exterior-Derivative-of-Differential-Forms

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$M=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ 上で $\alpha=-y\,dx/(x^2+y^2)$、$\beta=x\,dy/(x^2+y^2)$ とする。

(1) $d\beta$ を求めよ。(2) 単位円 $S^1$ に向きを入れ、$\int_{S^1}(\alpha+\beta)$ を求めよ。(3) $\alpha+\beta$ は $H^1_{\mathrm{DR}}(M)$ の非自明な元を定めることを示せ。Stokes の定理を用いてよい。

题目描述

在去心平面上定义上述两个微分形式。(1) 求 $d\beta$。(2) 为单位圆选取方向并计算 $\alpha+\beta$ 的积分。(3) 证明该形式代表非零的一阶 de Rham 上同调类，可用 Stokes 定理。

Kai

(1)

$$\boxed{d\beta=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\wedge dy}.$$

(2)

反時計回りに向きを入れ、$(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$ とおくと $\alpha+\beta=d\theta$。ゆえに

$$\boxed{\int_{S^1}(\alpha+\beta)=2\pi}.$$

(3)

$d\alpha=(x^2-y^2)(x^2+y^2)^{-2}\,dx\wedge dy$ より $d(\alpha+\beta)=0$ である。もし $\alpha+\beta=du$ なら、閉曲線上の完全形式の積分は $0$ だから (2) に反する。したがって閉形式だが完全形式でなく、非自明なコホモロジー類を定める。